高中数学奥林匹克竞赛试题
(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分
一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R上的函数y＝f(－x)的反函数是y＝f(－x),则
(A)y＝f(x)是奇函数 (B)y＝f(x)是偶函数
(C)y＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
2.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如右图所示。记N＝|a＋b＋c|＋|2a－b|,M＝|a－b＋c|＋|2a＋b|,则
(A)M＞N (B)M＝N (C)M＜N
(D)M、N的大小关系不能确定
3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是
(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC中,若(sinA＋sinB)(cosA＋cosB)＝2sinC,则
(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形
5.ΔABC中,∠C＝90°。若sinA、sinB是一元二次方程x＋px＋q＝0的两个根,则下列关系中正确的是
(A)p＝?1?2q且q＞?1 (B)p＝1?2q且q＞?1
2
2
－1
y －1 0 1 x 22(C)p＝－1?2q且q＞?1 (D)p＝－1?2q且0＜q≤1
226.已知A（－7,0）、B（7,0）、C（2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A、B两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为
(A)双曲线 (B)椭圆
(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分
二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）
7. 满足条件{1,2,3}? X ?{1,2,3,4,5,6}的集合X的个数为＿＿＿＿。
22a?x8. 函数f(x)?为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 |x?a|?a9. 在如图所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种,也可两种都种）,要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R上的函数y＝f(x),它具有下述性质:
(i)对任何x∈R,都有f(x)＝f(x),
(ii)对任何x1、x2∈R,x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2), 则f(0)＋f(1)＋f(－1)的值为＿＿＿＿。
11. 已知复数z满足z?z?z?z?3,且arg(z?1)??,则z＝＿＿＿＿。
3
3
312. 已知动点P（x,y）满足二次方程10x－2xy－2y＋1＝0,则此二次曲线的离心率为＿＿＿＿。
三、解答题（本大题共6个小题,满分78分） 13.（本题满分12分）
如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别是棱AB与BC的中点。 (Ⅰ)求二面角B－FB1－E的大小； (Ⅱ)求点D到平面B1EF的距离；
(Ⅲ)在棱DD1上能否找到一点M,使BM⊥平面EFB1？
A1 若能,试确定点M的位置；若不能,请说明理由。
D
14.（本题满分13分）
关于x的一元二次方程2x―tx―2＝0的两个根为α、β(α＜β)。
2
D1 B1 C1
C F E
B
A (Ⅰ)若x1、x2为区间[α,β]上的两个不同的点,求证:4x1x2－t(x1＋x2)－4＜0；
?t,f(x)在区间[α,β]上的最大值和最小值分别为fmax和fmin,g(t)＝fmax－fmin,求(Ⅱ)设f(x)?4x2x?1g(t)的最小值。
15.（本题满分13分）
已知a1＝1,a2＝3,an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an,若当m≥n时,am的值都能被9整除,求n的最小值。
16.（本题满分13分）
一台计算机装置的示意图如图,其中J1、J2表示数据入口,C是计算结果的出口。计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经过计算后得自然
计算机装置 数K由C输出。若此装置满足以下三个性质:①J1、J2分别输入1,则输出结果1；
②若J1输入任何固定自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2；
③若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍,试问: (Ⅰ)若J1输入1,J2输入自然数n,则输出结果为多少？ (Ⅱ)若J2输入1,J1输入自然数m,则输出结果为多少？
(Ⅲ)若J1输入自然数2002,J2输入自然数9,则输出结果为多少？
17.（本题满分13分）
C K
m J1 n J2
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