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2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）limx?13?x?1?x＝______．
x2?x?2【答案】?2 6【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：
limx?12113?x?1?x2(1?x)1??. ??lim?lim?2x?1x?16x?2x?x?2(x?1)(x?2)3?x?1?x2方法二：使用洛必达法则计算
limx?13?x?1?x?limx?1x2?x?2?1111???23?x21?x?2222??2.
362x?12x?y（2）设函数y?f(x)由方程e的法线方程为______． 【答案】x?2y?2?0
?cos(xy)?e?1所确定，则曲线y?f(x)在点(0,1)处
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式e2x?y?cos(xy)?e?1两边对x求导,得
e2x?y?(2?y')?sin(xy)?(y?xy')?0,
将x?0,y?1代入上式,得y'(0)??2.故所求法线方程为y?1?1x,即 x?2y+2=0. 2（3）
?π2π?2(x3?sin2x)cos2xdx＝_______．
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【答案】
? 8【考点】定积分的换元法 【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[??3??,]上,x3cos2x是奇函数,sin2xcos2x是偶函数, 22?223222?故
???x?sinx?cosxdx??2??xcosx?sinxcosx?dx??2?2?2212sin2xdx ?42??1???2?(1?cos4x)dx?.
88?2（4）过点(1y?1的曲线方程为______． ,0)且满足关系式y?arcsinx?221?x1 2【答案】yarcsinx?x?【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 原方程y'arcsinx?y1?x2?1可改写为?yarcsinx??1,
'两边直接积分,得yarcsinx?x?C 又由y()?0,解得C??. 故所求曲线方程为：yarcsinx?x?方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
12121. 2y'?11?x2arcsinxy?1.解得
arcsinx 范文范例.指导参考
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1dx???11?x2arcsinx1?x2arcsinxy?eedx??C??arcsinx????1???e?lnarcsinx?C??elnarcsinxdx?
arcsinx??1?(C?x),arcsinx??1dx又由y()?0,解得C??. 故曲线方程为：yarcsinx?x?12121. 2??a11???1??x1?????x???1?有无穷多个解，则a＝______．
（5）设方程1a1?2?????????????x3???11a?????2??【答案】?2
【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
?a11A???1a1??11a1?1???0a?1?0?01??11a?0a?11?a1????2??2?01?a1?a??a?2?3??1?2a???a?1??a?1??a?2???3?, 2?a?2????2可见,只有当a =?2 时才有秩r(A)?r(A)?2?3,对应方程组有无穷多个解. 方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式
a11为零,即有1a1?(a?2)(a?1)2?0,解得a??2或a?1.
11a由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当a?1时,原方程无解,因此只能是
a??2.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一
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项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设f(x)??（A）0．
?1,|x|?1,?0,|x|?1,则f{f[f(x)]}等于（ ） （B）1．
?1,|x|?1,（C）??0,|x|?1.【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★
?0,|x|?1,（D）??1,|x|?1.
【详解】本题涉及到的主要知识点：
复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析：由题易知f(x)?1，所以f[f(x)]?1，f{f[f(x)]}?f(1)?1，选B.
nn（2）设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比
22(ex?1)高阶的无穷小，则正整数n等于（ ）
（A）1． 【答案】B
【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★
【详解】解析：由题易知:
n(1?cosx)ln(1?x2)xsinxlim?0limx2?0nx?0x?0xsinxe?112214x?xnx1?nx?xx?lim2?lim2?02?0x?0xx?0x?lim2limn1?nx?0x?0x?xx?1?n?2?1?n?4
?n?1?n?3（B）2． （C）3． （D）4．
（3）曲线y?(x?1)(x?3)的拐点个数为（ ） （A）0． 【答案】C
【考点】函数图形的拐点
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22（B）1． （C）2． （D）3．
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【难易度】★★ 【详解】解析：
y??2(x?1)(x?3)2?2(x?3)(x?1)2y???2(x?3)2?4(x?1)(x?3)?4(x?3)(x?1)?2(x?1)2?2(x?3)2?8(x?1)(x?3)?2(x?1)2y????4(x?3)?8(x?3)?8(x?1)?4(x?1)?24(x?2)
由y???0得，x?1或x?3，带入y????0，故f(x)有两个拐点.
（4）已知函数f(x)在区间(1??,1??)内具有二阶导数，f?(x)严格单调减少，且
f(1)?f?(1)?1，则（ ）
（A）在(1??,1)和(1,1??)内均有f(x)?x． （B）在(1??,1)和(1,1??)内均有f(x)?x．
（C）在(1??,1)内，f(x)?x，在(1,1??)内，f(x)?x． （D）在(1??,1)内，f(x)?x，在(1,1??)内，f(x)?x． 【答案】A
【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】解析：令F(x)?f(x)?x，则F?(x)?f?(x)?1， 因为在区间(1??,1??)上，f?(x)严格单调减少，
所以当x?(1??,1)时，F?(x)?f?(1)?1?0，F(x)单调递增，F(x)?F(1)?f(1)?1?0； 当x?(1,1??)时，F?(x)?f?(1)?1?0，F(x)单调递减，F(x)?F(1)?f(1)?1?0； 故在(1??,1)和(1,1??)内均有F(x)?0，即f(x)?x.
（5）设函数f(x)在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数y?f?(x)的图形为（ ）
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2001年考研数学二试题[卷]及的答案解析
