（2）由 ?PAC ? ?BAC ? 60? ，可得OP ? OB ? 2sin 60? ? 3 ， OA ? 2 cos 60? ? 1 ， PA ? AB ? 2 ， 又 PB ? 6 ，所以OP2 ? OB2 ? PB2 ，所以OP ? OB ，所以OA,OB,OP 两两垂直，
分别以OA,OB,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ? xyz （如图），
???????????
则 O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0，3, 0), C(?3, 0, 0) ， P(0, 0, 3) ， AB ? (?1, 3, 0) ， BC ? (?3, ??3, 0) ，
??????
BP ? (0, ??3, 3) ，
??????? ?3x ??3y ? 0 ?BC ? 0 ?n ???(x, y, z) ????设平面 BCP 的法向量为 n= ，则? ，即? ， ?
???n ? BP ? 0 ?? 3y ? 3z ? 0
?
?
取 x ? ?1 ，则 n= (?1, 3, 3) 是平面 BCP 的一个法向量，（10 分） y ? 3, z ? 3 ，所以
设直线 AB 与平面 PBC 所成角为?，
| AB ? n | ?????| ?1? (?1) ? 3 ? 3 ? 0 ? 3 | ???? 则sin??| cos AB, n |?= | AB | ? | n | (?1)2 ? ( 3)2 ? 02 ? (?1)2 ? ( 3)2 ? ( 3)2 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 7
．（12 分） 7
?
? 2 7 ， 2 7 7
4
19．（本小题满分 12 分）
128 ? 135
【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为? 131.5 ，乙校学生数学成绩的中
2
128 ? 129
位数为? 128.5 ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的
2 中位数高．（2 分）
（2）由题意，作出 2 ? 2 列联表如下：
甲校 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 10 10 20 乙校 7 13 20 合计 17 23 40 40 ? (10 ?13 ?10 ? 7)2
计算得 K 的观测值 k ? ? 0.9207 ? 2.706 ，
20 ? 20 ?17 ? 23
2
所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（8 分）
（3）因为 X ~ N (110,144) ，所以?? 110 ，??
144 ? 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
所以 P(86 ? X ? 134) ? 0.9544 ，所以 P( X ? 134) ? 1 ? 0.9544
? 0.0228 ， 2
由题意可知?~ B(3, 0.0228) ，所以 E?? 3? 0.0228 ? 0.0684 ．（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
2 22 1 ba? b 【解析】（1）由 e ? （其中 e 为椭圆C 的离心率）得 ??1 ??2 ? ，即3a 2 ? 4b2 ，
aa2 2 2
1
3 3 1 9 x2 ? y2 ? 2x ? 3y ? 0 的圆心为 圆 ，由 在椭圆 C 上，得 ? ? 1 ， (1, ) (1, ) 2
2 2 a4b2
?3a2 ? 4b2 ?2
?联立?? a? 4 ， ，解得?
? 1 9 2
?? 1 b? 3 ??2?a2 4b
?
x2 y2 ??
故椭圆 C 的标准方程为 ? ?1 ．（4 分）
4 3
? y ? mx ? n ?2 （2）联立?? x ，消去 y ，整理得(3 ? 4m2 )x2 ? 8mnx ? 4n2 ?12 ? 0 ， y2 ? 1 ?? ? 4 3
因为直线 y ? mx ? n 与椭圆 C 只有一个公共点 M，
所以?? 64m2 n2 ? 4(3 ? 4m2 )(4n2 ?12) ? 0 ，即 n2 ? 3 ? 4m2 ，（6 分）
4m 3 4m 3
，（8 分） 设点 M 的坐标为(x , y ) ，则 x ? ? 4mn ? ? , y ? mx ? n ? ，即 M (?
M M M
, )3 ? 4m2 M M
n n n n
假设 x 轴上存在点 P (t, 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P，
???????????4m 3
因为 N (4, 4m ? n) ，所以 PM ? (? ? t, ) ， PN ? (4 ? t, 4m ? n) ，
n n
????? ???? 4m 3 4m 则PM PN ? ? (? ? t)(4 ? t) ? (4m ? n) = t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 1) ? 0 恒成立，
n n n
?t ? 1
所以?2 ，所以t ? 1 ，
t ? 4t ? 3 ? 0 ??
即在 x 轴上存在点 P (1, 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P．（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）若 a ? 2 ，则 g(x) ? x2 ? 2x ln x ? 2 ? x ln x ? x2 ? x ln x ? 2 ， 所以 g' (x) ? 2x ? ln x ? 1 ，（2 分）
因为函数 g (x) 的图象在 x ? t 处的切线的斜率 k ? g' (t) ? 2t ? ln t ? 1 ? 1 ，即 2t ? ln t ? 2 ? 0 ， 1 1
设?(t) ? 2t ? ln t ? 2(t ? ) ，则?' (t) ? 2 ? ? 0 ，
2 t
理科数学 第 7页（共 10页）
所以 2t ? ln t ? 2 ? 0 有唯一实数解t ? 1 ，（2 分）
因为 g(1) ? 3 ，把(1, 3) 代入 y ? x ? b 得b ? 2 ．（4 分）
a ? 1
（2） ?x ?[1, e] ， f (x) ? ?1 ，即 x ? a ln x ? ? 0 ．
1 所以?(t) 在( ，+?) 上是增函数，又?(1) ? 0 ，
2
a ? 1
设 h(x) ? x ? a ln x ? ，则 h(x) 在[1, e]上的最小值 h(x) ? 0 ，
min
x
a a ? 1 (x ? 1)(x ? a ? 1)
因为 h' (x) ? 1 ? ? ? ，（5 分）
2 2x xx
x
①当 a ? 1 ? 1即a ? 0 时，在区间[1, e] 上， h'(x) ? 0 ，所以 h(x) 单调递增， 所以 h(x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0 ，所以?2 ? a ? 0 ．（7 分）
②当1 ? a ? 1 ? e ，即0 ? a ? e ? 1 时， x ?[1, a ? 1] 时 h'(x) ? 0 ， h(x) 单调递减， x ?[a ? 1, e] 时 h'(x) ? 0 ， h(x) 单调递增，
所以 h(x)min ? h(a ? 1) ? 2 ? a ? a ln(a ? 1) ，由1 ? a ? 1 ? e 可得0 ? a ln(a ? 1) ? a ， 所以 h(a ? 1) ? 2 ? 0 ，满足题意．（9 分）
③当 a ? 1 ? e 即 a ? e ? 1 时，在区间[1, e] 上， h'(x) ? 0 ，所以 h(x) 单调递减， a ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1
，因为 ? e ?1， ? a ? 0 ，解得 a ??所以 h(x)min ? h(e) ? e ??
e e ?1 e ?1
2 e? 1
所以e ?1 ? a ??．（11 分） e ?1
e2 ?1
综上可得实数 a 的取值范围是(?2, ) ．（12 分）
e ?1 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）将?cos?? x ， ?2 ? x2 ? y2 代入?2 ? 2 | ?cos?|? 3 ，
得曲线C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2 | x |? 3 ，即(| x | ?1)2 ? y2 ? 4 ，（3 分）
所以曲线 C 表示圆弧(x ?1)2 ? y2 ? 4(x ? 0) 及圆弧(x ? 1)2 ? y2 ? 4(x ? 0) ．（5 分）
?x ? a ? 2t
（2）由? 消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x ? y ? a ? 0 ，
y ? 2t??当直线 l 与圆弧(x ?1)2 ? y2 ? 4(x ? 0) 相切时（如图），得解得 a ? 2 2 ? 1 或 a ? ?2 2 ? 1 （舍去）；（8 分）
|1 ? 0 ? a |
? 2 ， 2
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当直线 l 与圆弧(x ? 1)2 ? y2 ? 4(x ? 0) 相切时，得解得 a ? 2 2 ? 1 （舍去）或 a ? ?2 2 ? 1，
| ?1 ? 0 ? a |
? 2 ， 2
所以当?2 2 ? 1 ? a ? 2 2 ? 1 时直线l 与曲线C 有 2 个公共点，
故 a 的取值范围为(?2 2 ?1, 2 2 ? 1) ．（10 分）
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
【解析】（1）当 a ? 0 时， f (x) ?| 2x ? 2 | ? | x ? 1| ，由题意， x ? 0 ， ①当 x ? 0 时， f (x) ? ②当 x ? 0 时， f (x) ?
3 | x | x
3 | x | x
? f (x) ? ?3 ?| 2x ? 2 | ? | x ? 1|? ?3 ，该不等式恒成立；（3 分） ?| 2x ? 2 | ? | x ? 1|? 3 ，
?2x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ??2x ? 2 ? x ? 1 ? 3
或?? ?
x ? 1 ???0 ?? x ? 1 4 ? x ? ．
3
4 4 3 | x |
综上可得 x ? 0 或 x ? ，故不等式 f (x) ? 的解集为(??, 0) ?[ , ??) ．（5 分）
3 x 3
（2）因为| 2x ? 2 | ? | x ? 1| = 2 | x ?1| ? | x ? 1| ?| x ? 1| ? | x ? 1| ?| (x ? 1) ? (x ? 1) | =2，当且仅当 x ? 1 时等号成立，所以| 2x ? 2 | ? | x ? 1| ?a ? 2 ? a ．（8 分）
所以要使函数 y ? f (x) 的值域为[0, ??) ，应满足 2 ? a ? 0 ，即 a ? 2 ， 所以实数 a 的取值范围是[2, ??) ．（10 分）
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2019年5月2019届高三第三次全国大联考（新课标卷）-理数（全解全析）
