2024 年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】
理科数学·全解全析
1 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 C 11 A 12 C
D 1. 【答案】D
得 A ? B ? {x | ?1 ? x ??2} ， 【解析】由 A ? {x | x2 ? 2} ? {x | ? 2 ? x ??2} ，B ? {x | y ??x ? 1} ? {x | x ? ?1} ，
故选 D．
2. 【答案】A
3 ? 2 ? i ? 6i
? 1 ? i ，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 【解析】因为 z ??3 ? i ? (3 ? i)(1 ? 2i) ?
1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5
?
(1,1) ，故选 A． 3．【答案】B
【解析】由三视图得，该几何体是棱长为 3 的正方体截去一个棱长为 1 的正方体，如图所示，所以该几
何体的表面积与棱长为 3 的正方体的表面积相等，即所求表面积为 S ? 6 ? 32 ? 54 ．故选 B．
4．【答案】C
【解析】2016 年，2017 年，2024 年容易题分值分别为 40，55，96，逐年增加，①正确；近三年中档题分值所占比例最高的年份是 2016 年，②错误；2024 年的容易题与中档题的分值之和为 96+42=138， 138 150
? 0.92 ? 90% ，③正确，故选 C．
5. 【答案】B
2 2
【解析】(x ? 2)( ? 1)5 的展开式中的常数项为 x ? C4 ? ?14 ? 2 ?15 ? 10 ? 2 ? 8 ，故选 B．
5
x x
6. 【答案】D
n2 ? 1 n2 ? 1 n2 ? 1 n2 ? 1 n2 2 n2 2
【解析】A，当 n 为偶数时， , 不是整数，所以 n, , 不是勾股数；B，n? ( )? ( ? 1)2 ，
2 2 2 2 2 2
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2 2 2 2
2 2 n? 2 n? 2 n? 2 n? 2 nn所以 n, , ? 1不是勾股数；C， n2 ? ( )2 ? ( )2 ，所以 n, , 不是勾股数；D，当 n 2 2 4 4 4 4
n2 n2 n2 n2 n2 n2 2 2 2
为偶数时， n, ? 1, ? 1 都是整数，且 n? ( ?1)? ( ? 1)，所以 n, ? 1, ? 1 是勾股数，故选 D．
4 4 4 4 4 4
7. 【答案】B
【解析】模拟运行该程序：x=1，y=1，z=11，满足循环条件；x=1，y=11，z=21，满足循环条件；x=11， y=21，z=131，满足循环条件；x=21，y=131，z=341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341， 观察 A、B、C、D 四个选项，可知只有 B 选项符合题意，故选 B．
8. 【答案】D
【解析】由题意得 a2 ? 1? a ? a ? 6 ，所以 a ? 3 （负值舍去），所以 a ? 3 ? 2 ? 5 ，因为数列
1
4
1
1
2
ab243
1, a , a , b , b , b ,?, b ,? 成等比数列，设其公比为 q ，则 q ? 1 ? 3 ，所以b ? 35 ? 243 ，所以 3 ? ，
3 1 4 1 2 3 n
1 a 5 2
故选 D．
9. 【答案】B
c 3c ) ，代入双曲线 C 的方
【解析】设双曲线C 的焦距为2c(c ? 0) ，则由△OPF 为等边三角形，得 P( , 2 2
2 22c3c 3e
程得 ? ? 4 ，即e2 ? e ? 3 ? 1 （或 e ? 3 ? 1 ，舍去），故选 B． ? 4 ，解得
2 2 abe2 ? 1
10. 【答案】C
【解析】解法一：如图，连接 D1 A ， AC ， D1C ，易证平面 ACD1 ? 平面 EFG ，因为 D1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D1 P ? 平面 EFG，所以点 P 在直线 AC 上，所以当 P 为 AC 中点时，线段 D1 P 的
长度最小，最小值为 6 ，故选 C．
解法二：如图，连接 D1C ， AC ，因为直线 D1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D1 P ? 平面 EFG．延长 EF，与 DC 的延长线交于点 H，连接GH ，则 D1C ? GH ，AC ? EF，所以点 P 在直线 AC 上，易得
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当 P 为 AC 中点时，线段 D1 P 的长度最小，最小值为 6 ，故选 C．
11. 【答案】A
【解析】由 f (a) ? 1, f (a ? 2) ? 0 得函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称，且关于点(a ? 2, 0) 对称，由存在不相等的实数 x1 , x2 ?(a, a ? 2) 使得 f (x1 ) ? f (x2 ) 成立，可得 f (x) 在(a, a ? 2) 上不单调，所以区间 3T 3 2π 3π
(a, a ? 2) 的长度不小于 （其中T 为函数 f (x) 的最小正周期），即 2 ? ? ，即?? ，故选 A．
4 4 ? 4
12. 【答案】C
【解析】由(a ? 1)x ? ln x ? b ? 2 ? 0 ，得ln x ? (a ? 1)x ? b ? 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) ? 0 ，则 1
直线 y ? (a ?1)x ? b ? 2 与曲线 y ? ln x 相切，设切点为 P(t, ln t) ，则切线方程为 y ? ln t ? (x ? t) ，即
t
1 1 1 1 t ? 1
设 则 ， y ? x ? ln t ? 1 ，所以 a ? 1 ? ，b ? 2 ? ln t ? 1 ，所以 a ? b ? ? ln t ，g(t) ? ? ln t(t ? 0) ，g'(t) ?
2t t t t t
所以 g(t) 在(0,1) 上单调递减，在(1, ??) 上单调递增，所以 g(t) ? g(1) ? 1，所以 a ? b 的取值范围是[1, ??) ，故选 C． 13．【答案】[?1,5]
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z ? 2x ? y ?1得 y ? 2x ? z ? 1，平移直线 y ? 2x ，可知直线 y ? 2x ? z ? 1过点 A(2, 0) 时 z 取到最大值， zmax ? 2 ? 2 ? 0 ? 1 ? 5 ，过点 B(0, 2) 时 z 取到最小值， zmin ? 0 ? 2 ? 1 ? ?1 ，所以 z ? 2x ? y ? 1的取值范围是[?1,5] ．
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1
14．【答案】 ?
2
1
【解析】由| a ? b |?| a | ? | b | 可知向量 a, b 共线，所以cos?? 2 sin?? 0 ，所以tan?? ? ．
2
1
15．【答案】( , ??)
2
? 1 1 , n为奇数 1 1
【解析】由 a ? 1 且 a ?? 2? ，得 a ? ， a ? , a ? 1 ， ?，∴ a ? ，因为数
? a ? a n ??2n 1 3 n 2 n?1
2 2 2 4
?? 1, n为偶数
1 1 1
列{b } 是递增数列，当 n 为奇数时，b ? b ? ? ?? 0 ，∴ ?? ? ，当 n 为偶数时，b ? b ? ? ? ?? 0 ，
n n?1 n n?1 n
2 2 2
1 1
∴ ?? ，综上，实数?的取值范围是 ( , ??) ．
2 2 16．【答案】(4, 4)
【解析】由题意知直线 OA 的斜率为正，设直线 OA 的斜率为 k (k ? 0) ，则直线 OA 的方程为 y ? kx ， ? y2 ? 4x ? y2 ? 4x 4 4 16 16 2
直线 MN 的方程为 y ? k(x ?1) ，联立? ，得 A( , ) ，所以| OA |? ? ；联立? ，
4 2 2 k k k k ? y ? kx ? y ? k (x ? 1) 2k 2 ? 4 4 2 2 2 2
=2+ 2 ， x1 x2 ? 1 ， 消去 y ，整理得 k x ? (2k ? 4)x ? k ? 0 ，设 M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) ，则 x1 +x2 ??
k 2 k
1 1
成 | MF | ? | NF |? (1 ? k 2 ) | x ?1| ? | x ?1| = (1 ? k 2 ) | x x ? (x ? x ) ? 1| = 4(1 ?? ) ．因为
| MF |, | OA |,| NF | 1 2 1 2 1 2
k 2 2
1 4 ? 4 ，所以 k 4 ? 1 ，解得 k ? 1 ，故点 A 的坐标 等比数列，所以| MF | ? | NF |? | OA |2 ，即 4(1 ??1 ) =
k 2 k 4 k 2 4 为(4, 4) ．
17．（本小题满分 12 分）
【解析】解法一：（1）由 AB ? AC 可得?BAC ? π ? 2C ， 2 5 3
∴ cos?BAC ? ?cos 2C ? 2 sin2 C ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? ．（2 分）
5 5 ∵ AB ? AC ? AE ? EC ? 5 ? 2 ? 7 ，
∴ BE2 ? AB2 ? AE2 ? 2AB ? AEcos?BAE ? 49 ? 25 ? 42 ? 32 ，
∴ BE ? 4 2 ．（6 分）
3 4
（2）由（1）知， cos ?BAE ? ，∴ sin ?BAE ? ，
5 5
1 1 4 ? AB ? AE ? sin?BAE ? ? 7 ? 5? ? 14 ．（12 分） ∴ S△ABE
2 2 5 解法二：（1）如图，取 BC 的中点 D，连接 AD ，交 BE 于点 F ．
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由题意得 AD ? BC ，∵ AC ? AE ? EC ? 5 ? 2 ? 7 ， sin C ? ∴ CD ? AC ? cos C ? 7 ??
2 5 5
，∴ cos C ?
5 5
，
5 7 5 14 5
? ，∴ BC ? 2CD ? ，（3 分 ） 5 5 5
196 2 14 5 5
∴ BE2 ? BC2 ? EC2 ? 2BC ? EC ? cosC ? ? 2? 2 ? ? 2 ? ? 32 ，
5 5 5
∴ BE ? 4 2 ．（6 分） （2）由（1）知 BE ? 4 2 ，
∴ cos?ABE ? ∴ sin ?ABE ? ∴ S
AB2 ? BE 2 ? AE 2
2 AB ? BE 2 2 ，
49 ? 32 ? 25 2
，（9 分） ? ??2 2 ? 7 ? 4 2
1 1 2
? AB ? BE ? sin?ABE ? ? 7 ? 4 2 ? ? 14 ．（12 分） △ABE
2 2 2
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）如图，作 PO ? AC 于 O，连接 BO，
由 PA ? BA ， ?PAC ? ?BAC ， AO ? AO ，可得△PAO ≌△BAO ， 所以?AOB ? ?AOP ? 90? ，所以OB ? AC ，（3 分） 又 PO ? BO ? O ，所以 AC ? 平面 PBO ， 因为 PB ? 平面 PBO，所以 PB ? AC ．（6 分）
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2024年5月2024届高三第三次全国大联考（新课标卷）-理数（全解全析）
