高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1 计算下列对弧长的曲线积分：
（1）I??xds，其中L是圆x?y?1中A(0,1)到
22LB(11,?)22之间的一段劣弧；
12)解: (1?．
yA
（2）??(x?y?1)ds，其中L是顶
LCoxB点为O(0,0),A(1,0)及B(0,1)所成三角形的边界；
解:??(x?y?1)ds?3?22．
L
（3）??Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?x；
解:??Lx2?y2ds?2．
，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，
（4）?D(1,2,3) Lx2yzdsB(0,0,2),C(1,0,2),
8xyzds?5? L32； 解:
．
zB(0,0,2)C(1,0,2)D(1,2,3)2 求八分之一球面x2
2?y2?z2?1(x?0,y?0,z?0)A(0,0,0)x的边y
界曲线的重心，设曲线的密度??1。
解 故所求重心坐标为
?444??,,??3?3?3??．
习题10—2
1 设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明
?Q(x,y)dy?0。
L证明：略.
2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）?xydx，其中L为抛物线y?x上从点A(1,?1)到
2L点B(1,1)的一段弧。
4解 :?xydx?5。
L（2）? L(x2?y2)dx?(x2?y2
)dy，其中L是曲线y?1?1?x从
对应于x?0时的点到x?2时的点的一段弧；
?(x2?y2)dx?(x2?y2 L解 4)dy?． 3ydx?xdy,L
（3）?L是从点
3
A(?a,0)沿上半圆周
x2?y2?a2到点B(a,0)的一段弧；
L解 ?ydx?xdy?0.
（4）?xydy?xydx，其中L沿右半圆x22L2?y2?a2以点
A(0,a)为起点，经过点C(a,0)到终点B(0,?a)的路径；
a。 解 ?xydy?xydx???4224L
（5）?xdx?3zydy?xydz，其中L为从点A(3,2,1)到点
322LB(0,0,0)的直线段AB；
32203解 ?xdx?3zydy?xydz?87?tdt??87。 4L1
（6）I???(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，L为椭圆周
L?x2?y2?1 ,??x?y?z?2 ,且从z轴正方向看去，L取顺时针方向。 解:
??2?。
习题10—3
1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1) 星形线解:
3??a28?x?acos3t , ?3?y?asint , (0?t?2?)；）
。
4
(2) 圆x解:
2?y2?2by，（b?0）；
??b2。
2 利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ??(y?x)dx?(3x?y)dy，其中L是圆
L(x?1)2?(y?4)2?9，方向是逆时针方向；
3解:
L(2) ?ydx?( A(?1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线段，方向是顺时针方向。
解 :2 .
(3) ?(esiny?my)dx?(exLx。
siny?x)dy，其中L是依次连接
?18?cosy?m)dy，其中m为常数，
L为圆x2?y2?2ax上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向
1?0?m?a22弧；
解 : ?1m?a2L2。
yxdy?ydx(4) ?其中L为椭圆?x?y，
220(0,0)oA(2a,0)x4x2?y2?1，取逆时针方向；
2?0解 ??Ld??2?．
2?u(5) ???nds，其中u(x,y)?xx2?y2?6x?y2，L为圆周
?uu沿L的外法线方向导取逆时针方向，是?n数。
?u解 ???nds?36?。
L5
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