高三数学一轮复习——导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导1
数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;6.会使用导数公式表.
知 识 梳 理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
f(x0+Δx)-f(x0)Δy
= 为limΔx?x?0?x?0Δx
Δy
函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx=
?x?0(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim f(x0+Δx)-f(x0). Δx?x?0
lim
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). 2.函数y=f(x)的导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f′(x)=limΔx→0 函数. 3.导数公式表
基本初等函数 f(x)=c(c为常数) 导函数 f′(x)=0 f(x+Δx)-f(x)
称为函数y=f(x)在开区间内的导
Δx
f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0) f(x)=ln x f(x)=logax (a>0,a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ?f(x)?f′(x)g(x)-f(x)g′(x)(3)?g(x)?′=(g(x)≠0).
[g(x)]2??5.复合函数的导数
f′(x)=αxα1 -f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=ex f′(x)=axln a 1f′(x)=x 1f′(x)=xln a 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′. [微点提醒]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))′=0.
f′(x)?1?
2.?f(x)?′=-[f(x)]2. ??
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.( )
(3)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,(1)错. (2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错. (3)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2-2P19B2改编)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A.-9
B.-3
C.9
D.15
解析 因为y=x3+11,所以y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9. 答案 C
3.(选修2-2P3例题改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员的速度v=________ m/s,加速度a=______ m/s2.
解析 v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8. 答案 -9.8t+6.5 -9.8
4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)=x(2 018+ln x),若f′(x0)=2 019,则x0等于( ) A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
1
解析 f′(x)=2 018+ln x+x×x=2 019+ln x.
由f′(x0)=2 019,得2 019+ln x0=2 019,则ln x0=0,解得x0=1. 答案 B
5.(2018·天津卷)已知函数f(x)=exln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为________.
高三数学一轮复习——导数的概念及运算
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