高三数学一轮复习——导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导1
数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.
知 识 梳 理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
f(x0＋Δx)－f(x0)Δy
＝ 为limΔx?x?0?x?0Δx
Δy
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx＝
?x?0(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim f(x0＋Δx)－f(x0). Δx?x?0
lim
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limΔx→0 函数. 3.导数公式表
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) 导函数 f′(x)＝0 f(x＋Δx)－f(x)
称为函数y＝f(x)在开区间内的导
Δx
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ?f(x)?f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(3)?g(x)?′＝(g(x)≠0).
[g(x)]2??5.复合函数的导数
f′(x)＝αxα1 －f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝ex f′(x)＝axln a 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. [微点提醒]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
f′(x)?1?
2.?f(x)?′＝－[f(x)]2. ??
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A.－9
B.－3
C.9
D.15
解析 因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9. 答案 C
3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝______ m/s2.
解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案 －9.8t＋6.5 －9.8
4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( ) A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
1
解析 f′(x)＝2 018＋ln x＋x×x＝2 019＋ln x.
由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1. 答案 B
5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.
高三数学一轮复习——导数的概念及运算
