高三第一轮复习 函数的图象

函数的图象 函数的图象

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

主干知识归纳 1、描点法作图

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

(1) ① 确定函数的定义域；② 化简函数的解析式；③ 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；

(2) 列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）； (3) 描点、连线，画出函数的图象. 2、图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

x轴对称?关于??????y＝－f(x)的图象；

关于y轴对称??y＝f(－x)的图象； ② y＝f(x)的图象 ?????关于原点对称?y＝－f(－x)的图象； ③ y＝f(x)的图象 ?????关于y?x轴对称???????y＝logax(a>0且a≠1)的图象． ④ y＝ax (a>0且a≠1)的图象 ?① y＝f(x)的图象

(3)伸缩变换

1 a?1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

a① y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象．

10?a?1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 1

a?1，纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 a② y＝f(x)的图象 a y＝af(x)的图象．

3、翻转变换 ⑤ y＝f(x)的图象 ⑥ y＝f(x)的图象

方法规律总结

m

1、(1) 常见的几种函数图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋(m>0)

x的函数是图象变换的基础，需要严格掌握；

(2) 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻转变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程． 2、识图、作图常用的方法如下．

(1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2) 定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．

(3) 函数模型法：由所提供的图象特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．

1

0?a?1，纵坐标缩短为原来的

x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去?保留??????????????y＝|f(x)| 的图象.

y轴右边图象，并作其关于y对称的图象?保留??????????????y＝f(|x|) 的图象．

1a倍，横坐标不变

3、(1) 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”

的直观性．

(2) 有关方程解的个数或函数零点个数的问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数． (3) 在运用函数图象处理问题时要保证函数图象的准确性.

【指点迷津】

【类型一】作函数图象

【例1】：作出下列函数的图象：

(1) y＝

2－x1； (2) y＝()|x?1|； (3) y＝|log2x－1|. x＋122－x33

＝－1＋，因此由y＝的图象向左平移1个

xx＋1x＋12－x

的图象，如图①所示． x＋1

【解析】：(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．y＝

单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝

1

(2)先作出y＝()x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单

2

1＋

位长度，即得到y＝()|x1|的图象，如图②所示．

2

(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．

答案：

【例2】：作出下列函数的图象：

|x?1）(1)y?|x?2（； (2) y???2x?1,x?0. 3x?1,x?0?|x?1）??【解析】：(1)y?|x?2（

y ?(x?2)(x?1),x?2?2x?1,x?0，可作图①；(2) y??3，可作图②.

?(2?x)(x?1),x?2?x?1,x?0y 1 O 2 x

O x

① ②

答案： y y

（1） （2） 1 O x

O

2 x

2

【类型二】识图与辨图

【例1】：函数y＝1－

【解析】：将y＝

－11

的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象． xx－1

1

的图象是( )． x－1

答案：B

【例2】：已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．

A．y＝f(|x|)

B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)

D．y＝－f(|x|)

?f?－x?，x≥0，

【解析】：y＝f(－|x|)＝?

?f?x?，x＜0.答案：C

【例3】：现有四个函数：① y?xsinx，② y?xcosx，③ y?x|cosx|，④y?x?2x的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组为 （ ）

y y y y

O O O O x x x x

A．④①②③ B．①④③② C．③④②① D．①④②③ 【解析】：y?xsinx为偶函数，对应第一个图象；y?xcosx为奇函数，且当x??时， y?0，对应第三个图象；y?x|cosx|为奇函数，对应第四个图象；y?x?2x为非奇非偶函数，对应第二个图象. 答案：D

【类型三】函数图象的应用

【例1】：如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部的一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )

3

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】：①中应该是匀速的，故对应的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，故对应的图象正确；③中的变化规律是先快后慢再快，故对应的图象正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，故对应的图象正确． 答案：A

【例2】：函数f(x)是定义在区间[－4，4]上的偶函数，其在区间[0，4]上的 图象如图所示，则不等式

f（x）

<0的解集为________． cos x

ππ

【解析】：在区间(0，)上，y＝cos x>0，在区间(，4)上，y＝cos x<0.

22f（x）π

由f(x)的图象知，在区间(1，)上，f(x)<0，所以<0.因为f(x)为偶函

2cos x数，y＝cos x也是偶函数，所以y＝

f（x）f（x）ππ

为偶函数，所以<0的解集为(－，－1)∪(1，). cos xcos x22

ππ

答案：解集为(－，－1)∪(1，).

22

【例3】：某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y?f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为 ( ) y毫克 320

O 4 x20

A．上午10:00 B．中午12:00 C．下午4:00 D．下午6:00

【解析】：由图可得f(x)??答案：C.

80x,0?x?4,，由f(x)?240，可解得3?x?8,故选C．

400?20x,4?x?20??

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组 一、选择题

1．函数y＝log2(|x|＋1)的大致图象是 ( )

A B C D

【解析】：首先判断函数的定义域为R，又f(-x)?f(x)，所以y＝log2(|x|＋1)为偶函数， 当x?0时，y＝log2(x＋1)．结合选项知选B.

答案：B．

4

x32．函数y?x的图象大致是( )

3?1

【解析】：函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图象． 答案：C.

xln |x|

3．函数f(x)＝的图象可能是( )

|x|

A B C D 【解析】：易知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x. 答案：B．

|x|ax

4．函数y＝(a>1)的图象的大致形状是 ( )

x

x

A B C D

?ax,x?0|x|ax?【解析】：由题意知，y＝，又a>1，所以由 y＝ax的图象可知，B选项符合题意 ??xx???a,x?0答案：B．

5．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

A B C D 【解析】：由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.

选项A中函数为y＝()x，则其函数图象不正确；选项B中函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中函数为y＝(－x)3，则其函数图象不正确；选项D中函数为y＝log3(－x)，则其函数图象不正确．

答案：B.

5

13