例4 设
?x?teu2sinududx?t? 求 ?2tudy?y??eln(1?u)du0?2dx42dxdt2tetsint2?etsint??解： dydy2e2tln(1?2t)dt四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()。
n???arctanx0e?tdt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方
22ne?(arctanx)解：由已知条件可知f(0)?0，f?(0)?1?x2故所求切线方程为y?x
2x?0?1
2f()?f(0)2limnf()?lim2?n?2f?(0)?2 n??n??2nn例2 已知曲线的极坐标方程r?1?cos?，求曲线上对应于??坐标方程。
?6处的切线与法线的直角
?x?(1?cos?)cos??cos??cos2?解：曲线的参数方程为?
y?(1?cos?)sin??sin??sin?cos??dydxdy?d?dxd?cos??cos2??sin2???sin??2cos?sin??1
???6???6???6故切线方程y?1333??1?(x??) 2424即 x?y?353??0 44法线方程 y?1333???(x??) 2424即 x?y?
113??0 44可复制、编制，期待你的好评与关注！
例
3 设f(x)为周期是
5
的连续函数，在x?0邻域内，恒有
其中limf(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)。
?(x)xx?0?0，f(x)在x?1处可导，
求曲线y?f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为
y?f(1)?f?(1)(x?6)
所以关键是求出f(1)和f?(1)
由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)
x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0
f(1?sinx)?3f(1?sinx)8x?(x)?lim(?)?8
x?0x?0sinxsinxsinxf(1?t)?3f(1?t)令sinx?t,lim?8，又∵f(1)?0
t?0t再由条件可知lim∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]f(1?t)?f(1)?3lim
t?0t?0t(?t) =f?(1)?3f?(1)?4f?(1) 则4f?(1)?8 f?(1)?2
所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0 五、高阶导数
1．求二阶导数 例1 设y?ln(x?解：y'?x2?a2)，求y''
(x?x2?a2)?
xx?a221x?x2?a21x?x?a22 ?(1?3)?1x?a22
?1xy''??(x2?a2)2?2x??
2232(x?a)?x?arctantd2y例2 设? 求 2dx2?y?ln(1?t)可复制、编制，期待你的好评与关注！
2tdydydt1?t2???2t 解：
dx1dxdt1?t2dydyd()d()2dydx?dx/dx??dx2dxdtdt
2?2(1?t2) 11?t2例3 设y?y(x)由方程x?y?1所确定，求y'' 解：2x?2yy'?0，y'??22x yx2y??1?y?xyy y''????22yyy2?x21?? ?? y3y32．求n阶导数（n?2，正整数）
先求出y?,y??,，总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）y?e yxx(n)?ex
(n)（2）y?a(a?0,a?1) y（3）y?sinx （4）y?cosx （5）y?lnx
?ax(lna)n
y(n)?sin(x?y(n)n?) 2n??cos(x?)
2y(n)?(?1)n?1(n?1)!x?n
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
[u(x)v(x)](n)k(k)??Cnu(x)v(n?k)(x) k?0n其中Cn?kn!(0)(0)，u(x)?u(x)，v(x)?v(x)
k!(n?k)!假设u(x)和v(x)都是n阶可导
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(n)例1 设y?x（k正整数），求y（n正整数）
k解：y(n)?k(k?1)?(k?n?1)xk?n,n?k, ??n?k?0,xn(n)例2 设y?，求y （n正整数）
1?x(xn?1)?11??(xn?1?xn?2???x?1) 解：y?1?x1?xy(n)?[(1?x)?1](n)? 例3 设y?解：y?n! n?1(1?x)1(n)y，求（n正整数） 2x?3x?2111???(x?2)?1?(x?1)?1
(x?1)(x?2)x?2x?1y???[(x?2)?2?(x?1)?2] y???(?1)(?2)[(x?2)?3?(x?1)?3]
……
y(n)?(?1)nn![(x?2)?(n?1)?(x?1)?(n?1)]
(n)例4 设y?sinx?cosx，求y（n正整数）
441?cos2x21?cos2x2)?() 221312 ?(2?2cos2x)??cos4x
4441n?n?y(n)??4ncos(4x?)?4n?1cos(4x?)
422解：y?(
(n)例5 设y?xe，求y（n正整数）
32x解：用莱布尼兹公式
y(n)k??Cn(x3)(k)(e2x)(n?k)k?0n可复制、编制，期待你的好评与关注！
?x3(e2x)(n)?3nx2(e2x)(n?1)?n(n?1)n(n?1)(n?2)6x(e2x)(n?2)??6?(e2x)(n?3)26?2n?3e2x[8x3?12nx2?6n(n?1)x?n(n?1)(n?2)]
§2.2 微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。
[注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理]
这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。
（甲）内容要点
一、罗尔定理
设函数f(x)满足
（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； （3）f(a)?f(b)
则存在??(a,b)，使得f?(?)?0
几何意义：条件（1）说明曲线y?f(x)在A(a,f(a))和B(b,f(b))之间是连续曲线；[包括点A和点B]。
条件（2）说明曲线y?f(x)在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和点B]。
条件（3）说明曲线y?f(x)在端点A和B处纵坐标相等。
结论说明曲线y?f(x)在点A和点B之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线平行于x轴。
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高等数学讲义-一元函数微分学
