第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
二次函数 2
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴 的交点 零点个数 (x1，0)，(x2，0) 两个 (x1，0) 一个
无交点 零个 [疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)在b－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化]
2
1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
2
2
x1
A．(1，2) 和(3，4)
B．(2，3) D．(4，＋∞)
2
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)
3＜0.故选B.
2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是______．
1x解析：由已知得f′(x)＝e＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)
e＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1 [易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件． 1
1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．
xx解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x－3x的零点是______． 解析：由f(x)＝0，得x－3x＝0， 即x＝0和x＝3. 答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需
22
2
f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8 答案：(－8，1] 4．若二次函数f(x)＝x＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______． 解析：由题意得Δ＝k－4k<0，解得0 2 22 函数零点所在区间的判断 设f(x)＝－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列 哪个区间( ) A．(0，1) C．(2，e) B．(1，2) D．(e，3) 【解析】 h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根， 即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A. 【答案】 A 判断函数零点所在区间的3种方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．(2024·金华十校联考)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( ) 1?1?π 解析：选A.因为f??＝＋log2<0， 4?4?4 f??＝＋log2>0，所以f??·f??<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为 242 ?1?π??2 12 ?1????1??? ?1，1?. ?42??? 2．(2024·杭州市严州中学高三模拟)若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：选A.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， 3 所以f(a)＝(a－b)(a－c)， f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)， 因为a 函数零点个数的问题 ??x＋x－2，x≤0， (1)函数f(x)＝?的零点个数为( ) ?－1＋ln x，x>0? 2 A．3 C．1 B．2 D．0 (2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) 1 3,3)，)) e1 3,9)，)) 2e 1 3,9)，)) 3eln 33,9)，)) 3 ??x≤0， 【解析】 (1)法一：由f(x)＝0得?2 ?x＋x－2＝0? 或? ?x>0，? ??－1＋ln x＝0， 解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 法二：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)因为f(x)＝f(3x)?f(x)＝f??，当x∈[3，9)时，f(x)＝f??＝ln，所以f(x)＝ 3?3??3?ln x，1≤x<3，?? 而g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点?y＝f(x)与y＝ax的图象有三个不同?xln，3≤x<9，??3 ln 31交点，如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得 93e ?x??x? x4 【答案】 (1)B (2)B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有 多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1 ＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 2．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝2－1，0 则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为( ) ?1 f（x－2），x>2，??2 A．4 C．8 B．6 D．10 |x－1| 解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以1x通过y＝2的图象进行变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x)＝f(x2－2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2， 5
2024届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-8-第8讲-函数与方程
