综合仿真练(三)
1．命题p：?x∈R，x＋2x＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x＋2x＋1＝(x＋1)≥0，得?x∈R，x＋2x＋1≤0是真命题． 答案：真
2．(2019·徐州中学模拟)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝3}，则
2
2
2
2
2
2
xA∩B的子集个数是________．
解析：作出单位圆和函数y＝3的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A∩B中有两个元素，则A∩B有4个子集．
答案：4
3－i
3．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是________．
1＋i3－i?3－i?＝|3－i|＝10＝5.
解析：法一：因为z＝，所以|z|＝??1＋i?1＋i?|1＋i|23－i3－i1－i2法二：因为z＝＝＝1－2i，所以|z|＝1＋－2
1＋i2答案：5
4．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
10160
解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n，则＝，所以n3 200
2
x＝5.
n＝200.
答案：200
5．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t的值是________．
t←1i←2
While i≤4t←t×i i←i＋1End WhilePrint t解析：当i＝2时，满足循环条件，执行循环t＝1×2＝2，i＝3； 当i＝3时，满足循环条件，执行循环t＝2×3＝6，i＝4； 当i＝4时，满足循环条件，执行循环t＝6×4＝24，i＝5； 当i＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t＝24. 答案：24
6．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球
1
运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．
解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号33码不同的概率P＝1－＝. 124
3答案：
4
7．等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13＝________. 解析：由题意及等差数列的性质得5a7＝100，故a7＝20,3a9－a13＝3(a1＋8d)－(a1
＋12d)＝2a7＝40.
答案：40
8．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g(x)＝sin 2x－cos 2x的图象，则φ的最小值为________．
π????π??解析：f(x)＝2sin?2x＋?＝2sin?2?x＋??，
4?8?????π?π?????2x－x－g(x)＝2sin?＝2sin?2??， 4?8???????
π
故将函数f(x)向右平移＋kπ，k∈Z个单位可得g(x)的图象，因为φ>0，故φ4π
的最小值为.
4
π答案：
4
9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．
1122
解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的高为h，则有2＋2＝1，而母线长l＝r＋h，
rh1?1222?1
则l＝(r＋h)?2＋2?≥4，即可得母线最小值为2，此时r＝h＝2，则体积为
3?rh?12223
πrh＝(2)π＝π.
33
22答案：π
3
1
10．(2019·无锡期初)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f ′(x)＝f(x)，则tan
22x的值是________．
2
11
解析：因为f ′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以
222tan x－63
tan 2x＝＝. 2＝
1－tanx1－94
3答案：
4
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，D是BC的中点，E是AB的中点，
P是△ABC(包括边界)内任一点．则AD·EP的取值范围是________．
解析：以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,4)，B(2,0)，E(1，2)，D(1，―→―→
0)，设P(x，y)，则AD·EP＝(1，－4)·(x－1，y－2)＝x－4y＋7，
17－z1
令z＝x－4y＋7，则y＝x＋，作直线y＝x，
444117－z平移直线y＝x，由图象可知当直线y＝x＋，
444经过点A时，直线的截距最大，但此时z最小， 当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最大． 即zmin＝－4×4＋7＝－9，zmax＝2＋7＝9， ―→―→
即－9≤AD·EP≤9.
―→―→
故AD·EP的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9]
―→―→
x2y23
12．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A，B是椭圆的左、右顶点，Pab2
cosα－β是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则
cosα＋β＝________.
解析：由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝
y20
20
2
x－a，又y0＝
2
b22b2b2cb－2·x0，所以kPA·kPB＝－2，即tan αtan β＝－2.又e＝＝
aaaa2a2－b23
＝，所2
a2
＝
b21
以－2＝－，即
a4
tan αtan β＝－
1cosα－β，所以4cosα＋βcos αcos β＋sin αsin β1＋tan αtan β3
＝＝. cos αcos β－sin αsin β1－tan αtan β5
3
3答案：
5
13．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，―→2―→1―→―→
点Q满足AQ＝AP＋AC，则|BQ|的最小值是__________．
33
解析：以点A为坐标原点，AB为x轴正半轴，使得C落在第一象限，建立平面直21―→2―→1―→
角坐标系(图略)，设P(cos α，sin α)，则由AQ＝AP＋AC 得，Qcos α＋，
33322323??1
sin α＋，故点Q的轨迹是以D?，?为圆心，为半径的圆．又BD＝7，所以323?22?2―→
|BQ|的最小值是7－. 3
2
答案：7－
3
1
14．(2019·盐城中学模拟)已知函数f(x)＝＋aln x(x∈(0，e])的最小值是0，
x则实数a的取值集合为________．
1aax－1
解析：法一：f′(x)＝－2＋＝2.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单
xxx1111
调递减，f(x)min＝f(e)＝＋a，令＋a＝0，得a＝－，满足题意；当0 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝＋a，令＋a＝0， 11?1?得a＝－，不满足题意；当a>时，易知x∈?0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减，xee?a? 1 e1e ?1??1?∈?，e?时，f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)min＝f??＝a－aln a，令a－aln a＝0，?a? ?a? ?1?得a＝e，满足题意．综上，实数a的取值集合为?－，e?. ?e? 1 法二：由题意可得①?x∈(0，e]，f(x)＝＋aln x≥0，且②当x∈(0，e]时，方 x1 程＋aln x＝0有解．由①可得?x∈(0，e]，axln x≥－1，当a＝0时满足题意；当 xa>0时，需－≤(xln x)min；当a<0时，需－≥(xln x)max.令g(x)＝xln x，x∈(0， aa1?1?e]，则g′(x)＝1＋ln x，由g′(x)＝0得x＝，所以当x∈?0，?时，g′(x)<0，g(x) e?e?1?1??1?单调递减，当x∈?，e?时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g??＝－，又当 e?e??e? 4 11 111 0 eae111 时，－≥e，得－≤a<0.故可得－≤a≤e.由②可得a≠0，且当x∈(0，e]时，方程 aee11?1?1 －＝xln x有解，则－∈?－，e?，易得a≤－或a≥e.综上可得实数a的取值集合aa?e?e 为???－1e，e??? . 答案：??1??－e，e?? 5
(江苏专用)2020高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(三)
