习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

由天下分享时间：2025/1/28 6:07:31 加入收藏我要投稿点赞

习题5. 1

1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

a?b?ab koa?ak 其中a,b?R?,k?R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设?,??R.

因为?a,b?R?a?b?ab?R,

?????R,a?R???oa?a??R?,

所以R对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律 (1) a?b?ab?ba?b?a; (2)

?(a?b)?c?(ab)?c?(ab)c?abc?a(bc)?a?(b?c);

(3) R?中存在零元素1, ?a?R?, 有a?1?a?1?a;

(4) 对R?中任一元素a，存在负元素a?1?Rn, 使a?a?1?aa?1?1;

????????oa;

(5)1oa?a1?a; (6)?o??oa???oa?????a??a??(7) ?????oa?a?????a?a??a??a???oa??oa;

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否.

?A?B与B?A不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在P2?2中，W??A/A?0,A?P2?2?,判断W是否是P2?2的子空间.

答否.

?12??11??23? 例如??和??的行列式都为零，但??的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.

123345??????习题

1．讨论P2?2中的线性相关性.

解设x1A1?x2A2?x3A3?x4A4?O,

?ax1?x2?x3?x4?x?ax?x?x?1234 即??x1?x2?ax3?x4??x1?x2?x3?ax4?0?0 . 由系数行列式?0?0a1111a1111a111?(a?3)(a?1)3 1a知, a??3且a?1 时, 方程组只有零解, 这组向量线性无关； 2．在R4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标.其中解设??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4

由??1?2?3?4?1?1M?????0??1213110110?10?1MMMM0??1??0?初等行变换?0??????00???1??0010000100001MMMM1??0? ?1??0?得???1??3. 故向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解设??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4

?x1?0x2?x3?x4?2?x?x?x?0x?3?1234则有?.

x?x?0x?0x?4234?1??x1?0x2?0x3?0x4??7?101?1?1?1由??110??1001000MMMM2??1??3?初等行变换?0??????04????7??0010000100001MMMM?7??11? ?21??30?得???7?1?11?2?21?3?30?4.故向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知R3的两组基

?1??1??1???????（Ⅰ）： ?1=?1?，?2=?0?，?3=?0?

?1??-1??1????????1??2??3???????（Ⅱ）：?1=?2?，?2=?3?，?3=?4?

?1??4??3???????（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

?1???（2）已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?0?,求?在基?1,?2,?3下的坐标；

?-1????1???（3）已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?-1?,求?在基?1,?2,?3下的坐标;

?2???（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量?. 解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由

??1,?2,?3????1,?2,?3? C

?123??111?????即?234???100?C, ?143??1?11??????111??123??234???????知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为C??100??234???0?10?.

?1?11??143???10?1????????1?1??2?（2）首先计算得C?1??0?1??232?13?2??2??0?, ?1???3??1??2?????于是? 在基?1,?2,?3 下的坐标为C?1?0???0?.

??1??1???????2??1??7?????（3）? 在基?1,?2,?3 下的坐标为C??1???1?.

?2???3????? (4) 设??y1??234?????在基?1,?2,?3 下的坐标为?y2?, 据题意有?0?10??y???10?1??3????y1???y1?????y??y?2??2?, ?y???y??3??3??y1??0????? 解此方程组可得?y2?=k?4?，k为任意常数.

??3??y????3???1??? ???4k?2?3k?3?k?0?,k为任意常数.

?7???5．已知P[x]4的两组基

（Ⅰ）：f1(x)?1?x?x2?x3，f2(x)??x?x2，f3(x)?1?x，f4(x)?1

（Ⅱ）：g1(x)?x?x2?x3，g2(x)?1?x2?x3，g3(x)?1?x?x3，g4(x)?1?x?x2 （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).

解 ( 1 ) 设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ?g1,g2,g3,g4???f1,f2,f3,f4?C

?0?1有(1,x,x2,x3)??1??1101111011??101??1?1?1?1?(1,x,x2，x3)??1101???0??1001??0?C. 0??0??1110???00?11??. ?C??011?2?????1?1?13?（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(x1,x2,x3,x4)T.

?x1??x1??x1???????xxx222据题意有 C??????(C?E)???0 （*）

?x3??x3??x3???????xx?4??4??x4?01101101100?1?11因为C?E???1?11?001?1

010?210?210?2?1?1?12所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0) ，所以f(x) = 0

T习题

证明线性方程组

的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.

证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.

QR(A)?2?线性方程组的解空间的维数是5-R(A)?3.

实系数多项式空间R[x]3的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.

习题

1．求向量???1,?1,2,3? 的长度. 解 ??12?(?1)2?22?32?15.

2．求向量???1,?1,0,1?与向量???2,0,1,3?之间的距离.