课时跟踪检测（一） 两个计数原理及其简单应用
层级一 学业水平达标
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )
A．13种 C．24种
B．16种 D．48种
解析：选A 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)． 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 C．6
B．3 D．9
解析：选D 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
3．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A．6种 C．30种
B．12种 D．36种
解析：选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 C．13
B．16 D．10
解析：选C 分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面； 第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面． 故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
5．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本 C．12本
B．9本 D．18本
解析：选D 需分三步完成，第一步首字符有2种编法，第二步，第二个字符有3种编法，第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号共有2×3×3＝18种．
6．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种． 解析：从任一门进有4种不同走法，从任一门出也有4种不同走法，故共有不同走法4×4＝16种．
答案：16
7．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有________种．
解析：第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法43＝64种．
答案：64
8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
解析：按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1,4，共2种；
第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种； 第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种； 第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．
根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况． 答案：13
9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对； …
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．
所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长． 所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法
N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
层级二 应试能力达标
1．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为( ) A．9 C．18
B．12 D．24
解析：选B 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12．
2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 C．12
B．18 D．9
解析：选B 由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法，故选B．
3．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26 C．20
B．24 D．19
解析：选D 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D．
4．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
1A．
85C．
8
3B．
87D．
8
解析：选D 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝1＋17
16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝．
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5．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数
【人教A版】2017-2018学年高中数学选修2-3课时跟踪训练(含答案)
