四解2024年贵阳市中考物理24题
澄城县城郊中学 索杨军
2024年5月12日
在中考复习阶段，查看贵阳市去年的中考真题，发现个别题目有一定难度，而且趣味性很强，既考察了科学思维与创新方面的核心素养，又注重了与高中物理的无缝衔接，但美中不足的是，24题答案不够严谨，稍有瑕疵。针对这一问题，曾经写了三篇文章予以指正：
1. “纠正2024年贵阳市中考物理24题的答案”（以下简称“纠文”）； 2. “另解2024年贵阳市中考物理24题”（以下简称“另文”）； 3. “三解2024年贵阳市中考物理24题”（以下简称“三文”）。
在前两篇文章中，假设物体运动速度不高，可近似认为阻力与速度成正比，不过“纠文”采用了直接求解的办法，一步到位，简单高效，而“另文”采用了间接求解的办法，曲折迂回，收获更多。
在“三文”中，假设物体运动速度较高，可近似认为阻力跟速度平方成正比，直接求解，简单高效。今天再次使用迂回的办法，间接求解，步骤虽有些曲折，但意外收获同样更多，进而弄明白空气阻力近似与速度平方成正比时的所有函数关系，最关键的，也能够搞清楚原题答案错误的本质是什么。 一、题目
24. 如图1所示，小球在离地足够高的O点以速度v0竖直向上抛出，上升h后到达最高位置A点，
随即竖直下落到地面B点，它运动的总路程为H。已知小球受到的空气阻力随速度的增大而增大，且抛出时受到的空气阻力和重力的大小相等。请在答题卡上的坐标中画出小球从O点抛出到刚接触地面B点的过程中，其速度v的大小随路程s变化的大致关系图像。 二、求解
由于计算量大，过程复杂，为了不使思维陷入混乱，很有必要先理清思路，分三步走： 第一步：研究速度与时间的关系；
1
图1
第二步：研究位移与时间的关系； 第三步：研究速度与路程的关系。
第一步：研究速度与时间的关系
令向下为正方向。如果空气阻力近似与速度平方成正比，可设f＝kv2，依据牛二定律，有
??
????
=????±?????? ????
注意在上式中，物体上升时，阻力和重力同向，取“+”号；物体下降时，阻力和重力反向，取“-”号。求解微分方程，需要分离变量
????????
= ①
????±????????
题中告知，当初速度为-v0时，阻力跟重力相等，即
????=???(?????)??=????????
则
????????
??= ②
??
将②代入①，得
??????????
= ????????±??????????????化简
??????????
= ③
??????±??????????
1. 当物体上升时，阻力和重力同向，③式取“+”号，即
??????????
=
??????+??????????两边积分，有
∫
得
????????????????????=??+?? ④ ????????????
当t＝0时，v＝-v0，代入④，得
??=
???????????
????????????= ⑤ ??????????????
2
??????????
=∫+??
??????+??????????将⑤代入④，得
????????
??=??????????(+) ⑥
??????
以上⑥式是物体上升时的速度v关于时间t的函数。 由位移表达式⑥，可求出两个关键点：
（1） 当物体开始在O点时，时间t＝0，此刻速度
????????????
??=??????????(+)=??????????=?????
????????
（2） 当物体上升到A点时，时间tA＝v0π/（4g），此刻速度
??????????????
??=??????????(+)=??????????(+)=?? ??????????
先分析函数⑥式的单调性。 对⑥式求导，求出加速度
????????
??????(??????????(????+??))????===
????????????????????????(??+??)??
分析求导结果，得知函数⑥式：在0≤t≤v0π/（4g）的定义域内，导数为正，是增函数。 此外，可求得两个关键点的加速度：
（1） 当物体开始在O点时，时间t＝0，此刻加速度
??=
??????
==??=???? ????????????????????(+????????√????????)??(???)
（2） 当物体上升到A点时，时间tA＝v0π/（4g），此刻加速度
??=
??????
===?? ??????????????()?????????????????(??+??)
??
再分析函数⑥式的凹凸性。 对上式再求导
??
????????)????????????????????????(??+??)???(???????(+))????????????????(+
????????????)??
==
????????????????????????????????(+????????????(+??????)??????)????
??
??(????
=????
分析以上二阶导数：①若0≤t＜v0π/（4g），角(??+阶导数为负；②若t＝v0π/（4g），角(??+
??
??????
)在第二象限，正弦为正，余弦为负，则二
??????????
)等于π，正弦为0，余弦为-1，二阶导数为0。即物体
上升时，除了右边界一个点（t＝v0π/（4g））的凹凸性为0之外，函数⑥式的曲线是上凸的。
3
2. 当物体下降时，阻力和重力反向，③式取“-”号，即
?????????????=??????
????
????两边积分，有
∫
??????????=∫??????
??+??
?????????
得
??????+??????????=?????????????
??+?? ⑦ ????当t＝v0π/（4g）时，v＝0，代入⑦，得
??=?
??
???? ⑧??
将⑧代入⑦，得
??????????=????(?????
??)?????
⑨
??
(???????????????)+??
以上⑨式是物体下降时的速度v关于时间t的函数。 由位移表达式⑨，可求出三个关键点：
（1） 当物体上升到A点时，时间tA＝v0π/（4g），此刻速度
????????=????(???????
??)?????
??????=?????????????
(???????
??)+????+??
=??
??
(????(??+??√??)+??（2） 当物体下降到O点时，时间??)????
??=
??
????
，此刻速度 ????????
????=????(?????)?????
=????+??√?????√??????
??????????
(???????
??)+??
??+??√??+??=
??
（3） 当物体下降到足够低的B点时，时间tB→∞，此刻速度
(?????????????
??)??=?????????
????????→??∞???
??
∞+??
=???? ??
(???????)+??
先分析函数⑨式的单调性。 对⑨式求导，求出加速度
????????(?????????
??)??
??(???(?????????)??=
????
??
??????)+??
????
=????
4
(????(?????????????
??)(??(???????????????)+??)?????
(?????????)(?????????)??????????????)(???????????)=??????
??(
????????
(??
???????
??)+??)
????????
??????
(??=
?????)(?????????)?? (????????+??)
分析求导结果，得知函数⑨式：在t≥v0π/（4g）的定义域内，导数为正，是增函数。 此外，可求得三个关键点的加速度：
（1） 当物体上升到A点时，tA＝v0π/（4g），此刻加速度
(?????????????
??)??=
??????=??????????????(??
(
??(??+??)??=????????
=?? ?????
??
??)+??)
（2） 当物体下降到O点时，时间??(????(??+??√??)+????=
??
)????
????
，此刻加速度
????????????
(?????
)??=
????√??)??=
????(??+??(??(???????????????)??)
(??+??√??+??)
??=??.????
+（3） 当物体下降到足够低的B点时，时间tB→∞，此刻加速度
??=
??????(?????????????
??)????????
??
=
????
→????
(??
(
???????)+??)
????(???????????????)+????
(
?????????????
??)+∞+??+??
=??
??
??(???????????????)再分析函数⑨式的凹凸性。 对上式再求导
???????? ??????(?????????) ????????
?? ????
((??(???????)
+??))
????
=????
??
????????(
???????????????)????(?????????
)
+??)???(??
(
???????
??)+??)??
(
?????????????????????)????(???
)=????
????
(????????????
??????????????????
(??(???????)+??)
?????????)(?????????
)
??
??????????????
??????((????????+??)???(??
(
???????
??)+??)??
(
??????
(
?????)=????)
????
??????????
(??(???????)+??)
5
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