二维积分微分方程初边值问题的Taylor配置解和误差分析
赖嘉导，王奇生
【摘 要】摘要：利用Taylor配置方法求解二维Volterra-Fredholm型积分微分方程初边值问题，给出了Taylor配置解的求解格式和误差分析结果，并给出了阐述理论分析结果的数值例子.
【期刊名称】五邑大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2013(000)002 【总页数】9
【关键词】二维积分微分方程；初边值问题；Taylor配置解；误差分析 考虑二维Volterra-Fredholm型积分微分方程问题
其中，为上已知的适当光滑函数，为上的已知核函数，为未知函数，为常数，则微分算子 .
初始条件为： 边界条件为： . （3）
积分微分方程（1）满足初始条件（2），则为积分微分方程初始问题；积分微分方程（1）满足边界条件（3），则为积分微分方程边值问题. 选取配置点，，称
为积分微分方程问题的阶Taylor配置解，其中为待定系数. 本文给出了二维Volterra-Fredholm型积分微分方程初边值问题Taylor配置解的求解格式和误差分析结果.
1 方法介绍
令，，则方程（1）可写成： 对式（5）的两边取阶偏导，得： ，. （6）
1.1 微分部分的矩阵表示 矩阵表示，即令，其中，，， 1.2 积分部分的矩阵表示 在式（6）中， . （8）
用分别替代式（7）、（8）中的，取配置点，则 . （10）
把式（9）、（10）代入式（6），得： 其中， ，
，配置方程组（11）是一个阶线性方程组，其未知量为. 式（11）的矩阵表示如下： . （12） 其中，，，，，. 1.3 初始条件的处理
将式（4）及其导数表示成矩阵形式： ，
.
则初始条件（2）可表示成： ， ，
选取个初始点，记为，其中. 将这些点代入上面方程，对应可得到个矩阵方程： ，，，，
即可写成如下形式： （13）
其中系数是常数，与选取的初始点有关. 1.4 边界条件的处理
边界条件（3）分为4种情况，分别表示如下： ， ，
选取个初始点，记为，，其中. 将这些点代入上面方程，对应可得到个矩阵方程： ，，，，
即可写成如下形式： （14） 1.5 求解方法 由式（12）得：
令，则，其中，，，. 矩阵方程可表示成： , （16）
由方程（12）确定.
现在考虑增广矩阵（16），用式（13）或式（14）替代式（16）的最后行，得到新的增广矩阵： 或
若秩，则二维Volterra-Fredholm型积分微分方程（1）在初边值条件下有唯一解，此解可表示成： 为阶Taylor配置解.
2 误差分析
对二维积分微分方程问题（1），定义误差函数： 把代入式（1）得： ， （19）
其中为扰动项，由式（19）可知：
用式（1）减去式（19），且由式（18）可得： . （21）
构建误差函数的近似函数必须根据阶数的不同，重复计算等式（20），求出再代入式（21），利用与求解式（1）相同的方法可得到误差函数的近似解. 令，则由误差函数的定义得到：
现在的目标是使成立，其中是任意正整数. 令，则随着阶数的不断增大，下列不等式对任意点都成立： .
即随着阶数的增大，误差函数接近于0.
3 数值例子
例1 求解二维积分微分方程初值问题 ，.
初始条件：.
解 取，. 按方程（15）的解法得：
这样，4阶Taylor配置解，恰为原方程的精确解. 例2 求解二维积分微分方程初值问题 初始条件：，这个方程的精确解是. 解 取，. 按方程（15）的解法得： 其中，代入式（4），得到2阶配置解： .
取，按方程（15）的解法得：
其中，代入式（4），得3阶配置解为： .
取，按方程（15）的解法得：
其中，代入式（4），则4阶配置解为：
表1分别给出了时，精确解、数值解及误差函数在相应配置点处的计算结果，同时在图1中给出了误差函数、的图像. 从表1结果可以看出，随着阶数的增加，得到的数值解误差可以任意小. 例3 求解二维积分微分方程边值问题 边界条件：.
二维积分微分方程初边值问题的Taylor配置解和误差分析
