1907杭州二中返校考数学试卷
选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合A?xx??1或x?0，B??x?1?x?2?，则AUB?
A.?x0?x?2? B.?xx?2? C.?xx?0? D.R
??x2y22.双曲线??1的离心率是
3664A.
7554 B. C. D.
33453.函数f(x)?xx?a?b是奇函数的充要条件是
A.ab?1 B.a?b?0 C.a?b D.a2?b2?0
[来源:学§科§网][来源:Z_xx_k.Com]4.已知?，?是两个不同的平面，直线m满足m??，则“m??”是“???”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，
1111侧视图2则该几何体的侧面积为 A.2?39 B.2?22 2正视图C.22?23 D.6
俯视图PA1E6.设?，??[?,]，且满足sin?cos??sin?cos??1，则sin??sin?的取值范围是
22AD??DAA.[?2,2] B.[?1,2] C.[0,2] D.[1,2]
B对称，则下列C7.已知定义在R的函数f(x)满足f(2?x)为奇函数，且f(x?3)关于直线x?1式子一
定正确的是
A.f(x?2)?f(x) B.f(x?2)?f(x?6) C.f(x?2)?f(x?2)?1 D.f(x?1)?f(?x)?0
8.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点， F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角
A1EDD1B1FC1CBABPF的平面角余弦值的取值范围是
23235] B.[,] C.[0,] D.[0,] 22235rrrrrrrrrrr9.已知向量a，b满足a?2,a?b?2a?b，当a，b的夹角最大时，则a?b?
A.[0,A.0 B.2 C.22 D.4
10. 已知r，s，t为整数，集合A?a|a?2r?2s?2t,0?r?s?t中的数从小到大排列，组成数列?an?，
如a1?7，a2?11，a121?
??[来源:Z+xx+k.Com]A.515 B.896 C.1027 D.1792
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11. 成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题
题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？” 题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它正中央，高出水面部分有1尺
长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿（池塘一边的中点），则水深为 尺，芦苇长 尺.
?3x?y?4?0?12. 已知实数x，y满足?x?3y?4?0，则z?4x?y的最小值是 .
?y?0?13. 在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若C?a? ；
?6,b?1，c?2acosB，则
cosA? .
uuuruuur14. 在?ABC中，A?2B,BC?1,则AC的取值范围是 ；BA?BC的取值范围是 . 115. 已知等比数列?an?满足首项a1?2024，公比q??，用?n表示该数列的前n项之积，则?n取
2到
最大值时，n的值为 .
16. 已知函数f(x)?4?a?x?a在区间[1,4]上的最大值是5，则实数a的取值范围是 . x17. 已知抛物线y?x2和点P(0,1)，若过某点C可作抛物线的两条切线，切点分别是A，B，且满足
uuur1uuur2uuur CP?CA?CB,则?ABC的面积为 .
33
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
?18. 已知函数f(x)?2sin2(x?)?3cos2x.
4 （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移的值域.
19. 已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD为梯形，BC∥AD，且AB?BC?CD?1,AD?2.
PB?13,PA?PC?3. 2P???个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[?,]上
446（Ⅰ）证明：AC?BP；
（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
BCAD
20. 已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且a1?a3?30，2S2是3S1和S3的等差中项.
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设数列?bn?满足bn?
1?log3anan，求数列?bn?前n项和Tn.
x2y221. 在平面直角坐标系xOy中，点F时椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点，点D时椭圆上的一
ab个动点，且FD?[1,3]. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P(?4,0)作直线交椭圆C于A,B两点，求?ABC面积的最大值.
Ay
BDFOx
22. 定义函数f(x)?(1?x2)(x2?bx?c).
（Ⅰ）如果f(x)的图象关于x?2对称，求2b?c的值；
P （Ⅱ）若x?[?1,1]，记f(x)得最大值为M(a,b)，当b，c变化时，求M(a,b)的最小值.
1907杭州二中返校考部分小题解析
1.（1907杭州二中返校考T8）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是 A.[0,23235] B.[,] C.[0,] D.[0,] 23235
【答案】A 【解析】 方法一：定性分析
显然，当点F与点B1重合，锐二面角的平面角可取到最大值固定点E，则点F越靠近C1，其二面角的平面角越小， 固定点F，则点E越靠近A1，其二面角的平面角越小，
故当点E位于A1，点F位于C1时，其二面角的平面角最小，易求得为
?； 2?. 42]. 2综上可知，平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是[0,方法二：建系
如图所示，建立直角坐标系，B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1,0)， uuuruuurBE?(1,0,m)BF?(0,n,1)， ，E(1,0,m)，F(0,n,1)，
底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，
?x?mz?0设平面EFB的一个法向量为(x,y,z)，则?，
ny?z?0?不妨取(mn,1,?n)，则cos(???)??nm2n2?n2?1??1m2?1?1n2?[?2,0]， 2从而cos??[0,2]. 2
浙江省杭州第二中学2024届高三上学期返校考数学试题(有答案)
