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可把不同类别的方程的求解问题，在映射概念的基
对于线性齐次方
也是方程(6.2)的解，这里C1和C2证 因为y1和y2是方程(6.2) L［y1］＝0，L［y2］＝0，再由L L［C1y1＋C2y2］＝C1L［y1］＋C2L［y2］＝0所以C1y1＋C2y2是方程(6.2)的解。
定义 对于定义在某区间上的两个函数y１
(x),y2(x)，若存在两个不全为零的常数k1，k2，使得
k1y1(x)＋k2y2(x)≡0
成立，则称函数y1(x)，y2(x)在该区间内是线性相关的。若上式仅当k1，k2全为零时才能成立，则称y1(x)，y2(x)
在两个不全为零的常数k1，k2 k1y1(x)＋k2y2(x)≡0
由定义可知，若函数y1(x)，y２(x)线性相关，则存
定理一 设y1和y2是方程(6.2)的两个解，则C1y2＋C2y2
为进一步考察C1y1＋C2y2是不是方程(6.2)的通解，
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y2(x)k1设k2≠0有＝－ (常数)；反之若它们的比
y1(x)k2不是常数，则y１（x），y2(x)
y2(x)6sinxcosx3 ＝＝
2y1(x)sin2x
例如：函数y1(x)＝sin2x，y2(x)＝６sinxcosx是
y2(x)＝e是两个线性
x
又如：函数y1(x)＝e4x
y2(x)ex无关的函数，因为＝4x＝e－3x
y1(x)e下面给出C1y1＋C2y2是方程(6.2)通解的条件，有以
定理二 若y1，y2是方程(6.2)的两个线性无关的特
y=C1y1＋C２y2
是方程(6.2)的通解，其中C1，C2是两个任意常数。
证 由定理一，y＝C1y1＋C2y2是方程(6.2)的解，又因为y1与y2是线性无关的，所以两个任意常数C1,C2不能合并，即它们相互独立，所以y＝C1y1＋C2y2是方程(6.2)
下面讨论非齐次方程的通解的结构，有如下定理：
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定理三 设y是方程(6.1)的一个特解，而Y＝C1y1＋C2y2是其对应的齐次方程(6.2) y＝Y＋y＝C1y1＋C2y2＋y
是方程(6.1)的通解，其中C1，C2是两个任意常数。
证：因为y是方程(6.1) L［y］＝f(x)
~~~~~
又因为Y＝C1y1＋C2y2是方程(6.2) L［C1y1＋C2y2］＝0
~
则 L［C1y1＋C2y2＋y］＝0＋f(x)＝f(x)从而y＝C1y1＋C2y2＋y是方程(6.1)
~
又由于其含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以y＝C1y1＋C2y2＋y是方程(6.1)
~
这个定理对于一阶线性微分方程的通解也成立。在第三节中我们已看
~dy＋p(x)y＝q(x)的通解是其本身的一个特解y＝dx-------------
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e
－∫p(x)dx
∫q(x)e
∫pdx
dydx与对应的齐次方程＋
dx－∫p(x)dx
p(x)y＝0的通解Y＝Ce
y＝y＋Y
~dy是方程＋p(x)y＝q(x)
dx
定理四 设函数y1与y2
d2ydy 2＋p(x) ＋q(x)y＝f1(x)
dxdx
d2ydy 2＋p(x) ＋q(x)y＝f2(x)
dxdx的一个特解，则y1＋y2
d2ydy 2＋p(x) ＋q(x)y＝f1(x)＋f2(x)的一个特
dxdx 证 由假设L［y1］＝f1(x)，L［y2］＝f2(x)，所以
L［y1＋y2］＝L［y1］＋Ｌ［y2］＝f1(x)＋f2(x)，
d2ydy即y1＋y2是方程2＝p(x) ＋q(x)y＝f1(x)＋
dxdx-------------
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f2(x)
定理五 设y＝y1＋iy2
d2ydy 2＋p(x) ＋q(x)y＝f1(x)＋if2(x)
dxdx(其中p(x),q(x)，f1(x),f2(x)是实值函数)的解。
d2ydy则 y1是方程2＋p(x) ＋q(x)y＝f1(x)的解。
dxdx
d2ydyy2是方程2＋p(x) ＋q(x)y＝if2(x)的解。
dxdx 证
d2(y1?iy2)d(y1?iy2) ＋p(x)＋q(x)(y1＋iy2)≡2dxdxf1(x)＋if2(x)
d2y1d2y2dy1即 ［2＋p(x) ＋q(x)y1］＋i［2＋
dxdxdxdy2q(x) ＋q(x)y2］≡f1(x)＋if2(x)
dx
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d2y1dy1 2＋p(x) ＋q(x)y1≡f1(x)
dxdx
d2y2dy2 2＋q(x) ＋q(x)y2≡f2(x)
dxdx-------------
[整理]可降阶的二阶微分方程
