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第五节 可降阶的二阶微分方程
在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解
对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从
§5.1
d2y＝f(x)型的微分方程 2dx这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，
dy积分一次得
dx再积分一次得 y＋C２
f(x)dx＋C1
f(x)dx＋C1］dx
上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这
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就是方程的通解。
d2y1例1. 求方程2＝－2 满足y｜
dxsinx?ln2dyx＝，|?＝1
dxx?442解
dy ＝ctanx＋C1
dxdy以条件|?＝1代入得C1＝0
dxx?4dy ＝ctanx
dx
y＝ln｜sinx｜＋C2
?ln2以条件y｜x＝
422ln2 －ln＋C2 即C2＝0
22于是所求特解是 y＝ln｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程
dny＝f(x)，只要积分nndxd3y例2. 解微分方程3＝lnx＋x
dxd2y解 积分一次得 2＝xlnx＋x＋C1
dx-------------
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x2dy12
积分二次得 ＝xlnx－＋C1x＋C2
4dx2x3C12x3积分三次得 y＝lnx＋＋x＋C2x＋C3
1262§5.2
d2ydy＝f(x, )2dxdx
这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的
dy方法是：我们把
dxdy ＝p
dxd2ydp于是有2＝，这样可将原方程降为如下形式的
dxdx dp =f(x,p)
dx这里p p＝φ(x,C１)
dy然后根据关系式＝p
dx y＝∫φ(x,C1)dx＋C2
2dydy2
例3. 求微分方程(1＋x) 2－2x＝0的通
dxdx
解 这是一个不明显含有未知函数y
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d2ydpdy作变换 令 ＝p，则2＝，于是原方程降
dxdxdx
dp2
(1＋x) －2px＝0
dxdp2x ＝dx2p1?x
积分得
ln｜p｜＝ln(1＋x2)＋ln｜C1
2
即 p＝C1(1＋x)
dy2
从而 ＝C1(1＋x)
dx
x3 y＝C1(x＋)＋C2
3 例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)
解 取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平方向的直线为Ox轴，ON的长暂时不定。取曲线上任一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将NM这段绳索看作刚体，这段绳索上受到三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点处切线方向的张力T，以及本身重量p＝Sμ，其中S是NM的长度，μ是绳
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将力T分解为水平分力及铅直分力，并应用力的平
图6-2
Tsinα＝Sμ Tcosα＝H
?tanα＝S
H
若y＝y(x)
dy? ＝kS 其中k=
dxH为消去变量S，将上式两边对x
2dyds?dy?得 2＝k＝k1???
dxdx?dx?这就是绳索曲线所满足的微分方程，也即绳索曲线
dy的数学模型，此方程不明显含未知函数y，设＝p，
dxd2ydp则2＝ dxdxdp ＝k1?p2
dxdp即 ＝kdx 21?p2-------------
[整理]可降阶的二阶微分方程
