陕西省2020届高三数学第一次模拟联考试题文（含解析）

由天下分享时间：2025/2/22 1:12:27 加入收藏我要投稿点赞

【分析】

由奇函数的定义和性质，结合条件可得

的周期为4，求得

可判断①；由

f（x+2）=-f（x）=f（-x），可判断④；由f（x）的图象和y=log5|x|的图象的交点，可判断②；由f（x）的周期和一个周期内的函数解析式，即可判断③．【详解】定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），

即有函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故④正确；又f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由x∈（0，1]时f（x）=x，可得f（1）=1，

又f（0）=0，f（2）=0，f（3）=-f（1）=-1，f（4）=0，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=504×（1+0-1+0）+1+0-1=0，故①正确；由x∈[-1，0），-x∈（0，1]，f（-x）=-x=-f（x），可得f（x）=x（-1≤x＜0），即有f（x）=x（-1≤x≤1），由f（x）的图象关于直线x=1对称可得f（x）=2-x（1≤x≤3），作出y=f（x）的图象和y=log5|x|的图象，可得它们有五个交点，即方程f（x）=log5|x|有5个根，故②正确；

由f（x）的周期为4，且-1≤x≤1时，f（x）=x；1≤x≤3时，f（x）=2-x，可得当-1+4k≤x≤4k+1时，f（x）=x-4k；1+4k≤x≤4k+3时，f（x）=2-x+4k，k∈Z，故③正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质和运用，考查周期性和对称性、图象交点个数和函数解析式的求法，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用函数的图象是解答的关键，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.已知等差数列{an}中，（1）求（2）若

的通项公式．

，求数列

前

项和

．

，前5项和

．

【答案】（1）【解析】【分析】（1）等差数列

；（2）

的公差设为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公

差，即可得到所求通项公式；（2）求得

【详解】（1）等差数列可得所以

（2）由（1）得所以前2n项和为本题考查

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的并项求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．

18.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB=EA，且PA⊥AC，PC⊥BC．

，运用并项求和，即可得到所求和．

的公差设为，，解得；

，

（-1+5）+（-9+13）+…+[-4（2n-1）+3+8n-3] =4+4+…+4=4n．

，前5项和，

，

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若PA=2BC且AB=EA，三棱锥P-ABC体积为1，求点B到平面DCE的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】

（Ⅰ）先证PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，再结合BC⊥AC可得BC⊥平面PAC．（Ⅱ）设AB=EA=a，则PB=2a，PA=2BC=

a，AC=，由三棱锥P-ABC体积为1，求出a=2，

以C为原点，CB，CA，过C点与平面ABC垂直的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面DCE的距离．

【详解】证明：（1）∵EB=EA，所以在等腰△AEB中，D是AB的中点，∴ED⊥AB， ∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥PA，∴PA⊥AB，又PA⊥AC，AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC， ∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，

又PC⊥BC，PA∩PC=P，∴BC⊥平面PAC．（2）设AB=EA=a，则PB=2a，PA=2BC=∵三棱锥P-ABC体积为1， ∴

=1，解得a=2，

a，AC=

=，

以C为原点，CB，CA，过C点与平面ABC垂直的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，B（

，0，0），A（0，1，0），D（

），E（，0），

，，=（

），

），，0），

C（0，0，0），P（0，1，2=（

，0，0），

=（

设平面DCE的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，-，0），

∴点B到平面DCE的距离d==．

【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向

量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

19.按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本频数分布表

[100，质量指标值 [95，100） 105）频数

（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：合格品不合格品合计

（2）根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．参考公式及数据：x2=

甲套设备乙套设备合计 1 4 19 20 [105，110） [110，115） 120） 5 1 [115，[120，125] P（Х≥k） k

20.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 【答案】（1）800；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】

（1）结合频数分布表，求出满足条件的频率和频数；（2）求出2×2列联表，计算k2的值，判断即可；

（3）根据题意，利用满足条件的频率与方差的含有，判断即可．

【详解】（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5=0.16； ∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为5000×0.16=800（件）；（2）由表1和图得到列联表：合格品不合格品合计

将列联表中的数据代入公式计算得K2=

=4＞3.841；

甲套设备 48 2 50 乙套设备 42 8 50 合计 90 10 100 ∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（3）由表1和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为乙套设备生产的合格品的概率约为1-0.16=0.84，