2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编
3、三角函数部分
2018B 5、设?,?满足tan(??◆答案： ??3)??3，tan(???6)?5，则tan(???)的值为 7 4★解析:由两角差的正切公式可知tan????
???????7???4tan(???)??，即可得 ????????43??6??72017A 2、若实数x,y满足x2?2cosy?1，则x?cosy的取值范围为 ◆答案： ?1,3?1
??1?x2★解析：由x?2cosy?1得x?1?2cosy???1,3?，得x??3,3，cosy?，
222??所以x?cosy?
1?x?1?2?1，x??3,3可求得其范围为?1,3?1。 24????2016A 6、设函数f(k)?sinkxkx?cos4，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有1010?f(x)|a?x?a?1???f(x)|x?R?，则k的最小值为 ◆答案：16
kxkxkxkx?cos2)2?2sin2cos2 1010101012kx32kx?cos? ?1?sin54545m?(m?Z)时，f(x)取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间其中当且仅当x?k5??1，即k?5?． (a,a?1)至少包含一个最大值点，从而k★解析：由条件知，f(x)?(sin2反之，当k?5?时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时
{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立．综上可知，正整数的最小值为[5?]?1?16．
2015A 2、若实数?满足cos??tan?，则◆答案：2
★解析：由条件知，cos??sin?，反复利用此结论，并注意到cos??sin??1，得
2221?cos4?的值为 sin?1cos2??sin2?422?cos???sin2??(1?sin?)(1?cos?)?2?sin??cos??2． sin?sin?
2015A 7、设w是正实数，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sinwa?sinwb?2，则w的取值范围是
9513[,??)
424★解析：由sin?a?sin?b?2知，sin?a?sin?b?1，而si?a,?b?[w?,2w?]，故题目条件等
◆答案：w?[,)价于：存在整数k,l(k?l)，使得w??2k???22当w?4时，区间[w?,2w?]的长度不小于4?，故必存在k,l满足①式． 当0?w?4时，注意到[w?,2w?]?(0,8?)，故仅需考虑如下几种情况：
?5?15?2w?，此时w?且w?无解； (i) w???2224955?9???2w?，此时?w?; (ii) w??4222139139?13???2w?，此时?w?,得?w?4． (iii) w??424229513综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到w?4亦满足条件，可知w?[,)[,??)．
424?2l????2w?． ①
2015B 3、某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：
T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a?b的最大值为 ◆答案： 52 ★解析：由辅助角公式：T?asint?bcost?a2?b2sin(t??)，其中?满足条件
sin??ba2?b2,cos??aa2?b2，则函数T的值域是[?a2?b2,a2?b2]，室内最大温差为
2a2?b2?10，得a2?b2?5．
故a?b?
2(a2?b2)?52,等号成立当且仅当a?b?52． 2
三角函数-2016-2018年历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案
