∴m的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C． （1）求直线AB和反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的解析式；
（2）已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，可求直线解析式；过点C作CD⊥x轴，根据三角形全等可求C（3，1），进而确定k；
（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，当△＝h2﹣24＝0时，点P到直线AB距离最短； 【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b， ∴b＝2，m＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2；
∵过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC， ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1， ∴C（3，1）， ∴k＝3，
∴y＝；
（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h， 联立﹣2x+h＝， ∴﹣2x2+hx﹣3＝0， 当△＝h2﹣24＝0时，h＝∴P（
，
）；
，此时点P到直线AB距离最短；
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且FD交AB于点N．
（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径； （2）求证：△BNF为等腰三角形；
（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON?OP＝OE?OM．
＝
，连接FB，FD，
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CEB，可得的半径；
，可求BE的长，即可求⊙O
（2）通过证明△ADE≌△NDE，可得∠DAN＝∠DNA，即可证BN＝BF，可得△BNF为等腰三角形； （3）通过证明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OE?OM，通过证明△PCO∽△CEO，可得CO2＝PO?ON，
即可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，
∵CD⊥AB，AB是直径 ∴
，CE＝DE＝CD＝3
∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB ∴△ACE∽△CEB ∴∴∴BE＝9
∴AB＝AE+BE＝10 ∴⊙O的半径为5 （2）∵
＝
∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90° ∴△ADE≌△NDE（ASA） ∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN ∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB ∴∠FNB＝∠DFB ∴BN＝BF，
∴△BNF是等腰三角形
（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，
∵MD是切线， ∴MD⊥DO，
∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO ∴
∴OD2＝OE?OM ∵AE＝EN，CD⊥AO ∴∠ANC＝∠CAN， ∴∠CAP＝∠CNO， ∵
∴∠AOC＝∠ABF ∵CO∥BF ∴∠PCO＝∠PFB
∵四边形ACFB是圆内接四边形 ∴∠PAC＝∠PFB
∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO ∴
∴CO2＝PO?NO， ∴ON?OP＝OE?OM．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26．（10分）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BDP周长的最小值；
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），即可求解；
（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，即可求解； （3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解． 【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3， 故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3）， 则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；
（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P， 直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，
则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，
2024年广西柳州市中考数学试卷
