一章习题解答
给定三个矢量A、B和C如下：
A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez
C?ex5?ez2
求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；
（6）A?C；
（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。 解 （1）aA?e?ey2?ez3A123 ?x?ex?ey?ez222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11 （4）由
?AB?cos?1(?11)?135.5 238cos?AB?AB?1111???AB14?17238，得
（5）A在B上的分量 AB?Acos?AB?ex5eyezAB11?? B17（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10
0?2ex5eyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20
0?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42
(A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42
ex5exey5eyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
0?2ez20A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11
三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。
（1）判断?PP12P3是否为一直角三角形；
（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为 r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，
R31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0
故?PP12P3为一直角三角形。
（2）三角形的面积 S?111R12?R23?R12?R23?17?69?17.13 222 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P35?x?cos?1( 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹
角和A在B上的分量。
解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos?1(A在B上的分量为 AB?AAB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B77 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在
C?ex?ey?ez上的分量。
exey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1解 A?B?2?6?4所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25????14.43
C3 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA)C 故 B?C
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。
解 由P?A?X，有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
故得 X? 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,pA?A?P AA2?（1）直,3)定出，求该点在：
3角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(2?3)??2、y?4sin(2?3)?23、z?3
故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、
??2?3?120
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
用球坐标表示的场E?er25
，2r（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；
（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。
解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故
E?er251? 2r21?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以
2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB32 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证
明R1和R2间夹角的余弦为
cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)
解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1
R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
得到 cos??R1R2?
R1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?
sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： ?(er3sin?)dS的值。
S2?解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS?2?d??3sin??500sin?d??75?2
在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验
证散度定理。
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
