《高等数学(同济6版)》练习题参考答案--第七章 微分方程
第七章 微分方程—练习题参考答案
一、填空题
1. 三阶； 2. y???3y??2y?0； 3. y?yx??1；
4. ln2?e2x ；
5. c1ex?c2e?2x；6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题
1-5:ACDCB; 6-8: CCB;
三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得，
两边积分得，
122ydyy?1122?xdxx?122，
12ln(y?1)?ln(x?1)?lnc，
从而方程通解为 y2?1?c(x2?1). （2）解：整理得，
令
yxdydx?yxlnyxdydx，可见该方程是齐次方程，
?u?xdudx?u，即y?xu，则，代入方程得，u?xdudx?ulnu，
变量分离得，
duu(lnu?1)yx?dxx，积分得，ln(lnu?1)?lnx?lnc，
所以原方程的通解为ln（3）解：整理得，y????1?cx，或写为y?xexcx?1.
1xy?e，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为
y?e?xdx1(?eex?xdx1dx?c)?1xlnx11x(?xedx?c)?x1x(xe?e?c).
xx（4）解：整理得，
?dydx?y?1x，这是一阶线性方程，利用公式得通解为
2y?e?xlnxdx1dx1?1lnx1lnx(?exlnxdx?c)?(?dx?c)?(?c)， xlnxxlnx2代入初始条件yx?e?1得c?12，从而所求特解为y?12(lnx?1lnx).
（5）解：将方程两边逐次积分得，y??y??11?x122dx?arctanx?c1，
2?(arctanx?c1)dx?xarctanx?ln(1?x)?c1x?c2，
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《高等数学(同济6版)》练习题参考答案--第七章 微分方程
即原方程通解为y?xarctanx?12ln(1?x)?c1x?c2.
2（6）解：方程中不显含未知函数y，所以可令y??p(x)，则y???p?(x)，代入方程得，
p??p?x，这是一阶线性方程，其通解为
dx?1dxx?xx?x?xxp?e?(?xe?dx?c1)?e(?xedx?c1)?e(?xe?e?c1)??x?1?c1e，
从而y???x?1?c1ex，两边积分得原方程通解为 y??
2、解：将f(x)?x?所以
12x?x?c1e?c2.
2x?x0f(u)du两边对x求导并整理得，f?(x)?f(x)?1，这是一阶线性微分方程，
dx?1dxx?xx?xf(x)?e?(?e?dx?c)?e(?edx?c)?e(?e?c)，
又由f(x)?x??x0f(u)du可知f(0)?0，从而c?1，
所以所求f(x)?ex?1.
3、证明：因为y1(x),y2(x),y3(x)都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解，
所以y1?y2和y2?y3都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)对应齐次方程的解， 又因
y1?y2y2?y3不恒等于常数，所以y1?y2和y2?y3线性无关，
从而对应齐次方程的通解为Y?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)， 所以原方程的通解为y?Y?y1?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)?y1， 即y?(1?c1)y1?(c2?c1)y2?c2y3.
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