解析：选C.因为a , 3是函数f(x)的两个零点，
所以f ( a ) = f ( 3 ) = 0.又f (a) = f ( b) = — 2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a, b必在
a , 3之间.
6 .若函数f(x) = ax2— x+ 2只有一个零点，则实数 a的取值集合是 ____________ . 解析：当 a = 0 时，f(x) =— x + 2，令 f(x) = 0,解得 x = 2, 所以函数只有一个零点 2,符合题意；
当a^0时，由函数只有一个零点可得 △ = ( — 1)2 — 4x ax2= 0，即1 — 8a = 0,解得a= 1 8.
1 、
综上a=：或a= 0.
8 答案：：0,8}
7. _______________________________________________________________________ 已知函数f(x) = lg x+ x— 10的零点在区间(k, k+ 1)上, k� z,贝U k= _________________ . 解析：由题意知函数 f(x)为(0,+s)上的增函数. 且 f (9) = lg 9 + 9 — 10= lg 9 —1<0,
f (10) = lg 10 + 10— 10= 1>0,
即 f (9) f(10)<0 ,
所以函数f(x)在(9 , 10)内存在唯一的零点，
因为函数f (x) = lg x+ x— 10的零点在区间(k, k+ 1)上, k� Z,所以k = 9. 答案：9
一 2
8. _________________ 若方程x — (k + 2)x + 1 — 3k = 0有两个不相等的实数根 X1, x2，且0解析：因为方程 x2— ( k + 2)x+ 1 — 3k= 0有两个不相等的实数根 X1, X2,且0-2 -
所以设f(x) = x2— (k+ 2)x+ 1 — 3k,画出函数f (x)的大致图象如图所示.
-3 -
知 f(0) = 1 — 3k>0，且 f(1) =- 4k<0，且 f(2) = 1 — 5k>0，所以 0故实数k的取值范围为，k|0< k<5 答案:
1 5
1 结合图象5
9 .关于x的方程mX + 2( m^ 3)x+ 2m+ 14= 0有两个实根，且一个大于 4, 一个小于4, 求m的取值范围.
解：设 f(x) = mX + 2(m^3)x+ 2m^ 14, m>0, n<0,
依题意可得f (4) <0或f (4) >0. 相应有,
m>0, m<0,
26m+ 38<0 ①或26计38>0.
解①得，无解; 19 訂0.
解②得，-
所以m的取值范围为
19
「13,
cx — 1
10. 已知函数f (x) = x + 1 (c为常数)，若1为函数f (x)的零点.
(1) 求c的值；
⑵ 证明函数f(x)在［0 , 2］上是单调增函数；
1
(3)已知函数g(x) = f (ex) — 3，求函数g(x)的零点.
3 解：(1)因为1为函数f (x)的零点， 所以 f(1) = 0，即 c = 1. (2) 证明：设 0W X1X2— 1 X1 — 1
贝 y f(x2)— f(x\=
——— X2+ 1 X1 + 1
2 (X2— X1) =(X2 + 1)( X1+ 1),
因为 0w X1所以 X2 — X1>0, X2 + 1>0, X1 + 1>0,
所以f(X2)>f(X1)，即函数f(x)在［0 , 2］上是单调增函数.
人
x
1 e — 1 1
⑶令 g(x) = f(e ) — 3 = e^ — 3= 0,
所以 ex= 2,即 x= In 2 ,
-4 -
所以函数g(x)的零点是In 2.
[B 能力提升]
2
11.
数f(x) = 2x— x — a的一个零点在区间(1 , 2)内，则实数a的取值范围是(
函
x
)
A. (1，3) C. (0 , 3)
B. (1，2) D. (0 , 2)
解析：选 C.由题意可得 f (1) f (2) = (0 — a)(3 — a)<0 , 解得0故实数a的取值范围是(0 , 3)，故选C. 12.
若 X1� (1 , xo) , X2� (XO,
A. f(x”<0, f(X2)<0 B. f(X1)<0, f(X2)>0 C. f(X1)>0 , f(X2)<0 D. f(xd>0, f(X2)>0
1
解析：选B.在同一平面直角坐标系中画出函数 y= 2X和函数y=
x— 1
的图象，如图所示，
1
已知 X。是函数 f (x) = 2x + ),则(
1 — x
的一个零点.
)
1
由图可知函数y = 2和函数y=
X — I
X 1
的图象只有一个交点，即函数 f (x) = 2 + 只有一
I — X
X
个零点X0,且X0>1.
因为 X1 � (1 , xo), X2� (x0,+)，所以由函数图象可知，
m
f(xJ<0, f(X2)>0.
13. 已知y = f (x)是定义域为 R的奇函数，当x � [0 ,+^)时，f (x) = x2— 2x. (1) 写出函数y= f (x)的解析式；
(2) 若方程f(x) = a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
解：(1)当 x� ( —a, 0)时，一x� (0,+^)，因为 y = f (x)是奇函数，
2 2
所以 f (x) = — f ( — x) = — [( — X) — 2( — x)] =— x — 2x,
< 2
x — 2x, x> 0,
所以 f(x) =*
2
—x — 2x, x<0.
(2)当 x � [0，+a)时，f (x) = x2— 2x = (x— 1)2— 1,
-5 -
