，
∽
， ，
，
解得
， .
②当 易知：
， .
③当 易知：
， .
综上所述，满足条件的点D坐标为 【解析】【分析】（1）结论：点D是 即可解决问题；（2）只要证明 情形：过点A作
时，点B是 ， 时，点A是 ，
，
的“理想点”.
的“理想点”.
或 或
.
∽
的“理想点” 只要证明 即可解决问题；（3）如图
中，存在 有三种
交CB的延长线于M，作 轴于 构造全等三角形，利
用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；
7．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长. 【答案】 （1）15 （2）解：如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B+∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°， ∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE?CB， ∴CE= ， ∴BE=5﹣ = .
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A、B、F共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB?FA，设FB=x，
则有：x（x+7）=122 ， ∴x=9或﹣16（舍去）， ∴AF=7+9=16， 在Rt△ACF中，AC= ∴2∠B+∠A=90°， 解得，∠B=15°；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE?CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB?FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， 推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；
【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
8．操作： 、 探究：
和
都是等边三角形，
绕着 点按顺时针方向旋转， 是
的中点，有以下三种图形.
（1）在上述三个图形中， 比值； （2）（3）
与
的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论； 有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.
是等边三角形，由图（1）得AO⊥BC，
；
，
∴ ∴ ∴
是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个
【答案】 （1）解：∵ ∴
，∴
（2）证明：
，
（3）证明：在图（3）中，由（2）得
∴
∵∠AOB=90°， ∴ ∴
.
，
∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠AEF =∠AOB
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AO⊥BC，BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得AO= 可得AO⊥BC，
BO，即AO∶BO是一个固定的值
，由同角的余角相等可得 ，可得
；（3）在图（3）中，由（2）得 .
∶1；（2）由等边三角形的性质
，由（1）可得
，根据相似三角形的性质可得
，根据相似三角形的
性质可得∠1=∠2，根据对顶角相等得∠3=∠4，则∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°，即
9．两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．
（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sinα的值．
【答案】 （1）解：）过点C作CG⊥AB于G 在Rt△ACG中 ∵∠A＝60° ∴sin60°＝ ∴ ∴AB=2 ∴
在Rt△ABC中 ∠ACB＝90°∠ABC＝30°
（2）解：菱形
∵D是AB的中点 ∴AD=DB=CF=1 在Rt△ABC中，CD是斜边中线 ∴CD=1 同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF ∴四边形CDBF是菱形
（3）解：在Rt△ABE中 ∴
过点D作DH⊥AE 垂足为H
则△ADH∽△AEB ∴
即 ∴ DH=
在Rt△DHE中
备战中考数学知识点过关培优训练∶相似及详细答案
