②②在x轴负半轴，当AC=NC时；③在x轴正半轴，当AN=CN时；④在x轴正半轴，当AC=NC时；结合已知条件易求解；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，由平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△BMD∽△BAO，于是有比例式
， 根据平行线分线段成比例定理可得
， 所以
,将已知线段代
入比例式可将MD用含n的代数式表示出来，根据三角形的构成可得S△AMN= S△ABN- S△BMN= ? BN?OA?BN?MD，将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。
5．如图（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）如图（2），当AC过点E时，求t的值；
（2）如图（3），当AB与DE重合时，AC与EF、EG分别交于点M、N，求CN的长； （3）在整个运动过程中，设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y，请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．
【答案】（1）解：如图（2），当AC过点E时， 在Rt△ABC中，BC=3，AC=6， ∴BC所对锐角∠A=30°， ∴∠ACB=60°，
依题意可知∠ABC=∠EDC=90°， ∵∠ACB=∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴ ∴CD= ∴t=CD=
，即 ， ；
，
（2）解：如图（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6，
∴DG=
在Rt△EDG中，sin∠EGD= ∴∠EGD=30°，
∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，
=3
， ，
∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°， ∴∠CNG=∠EGD， ∴NC=CG=DG﹣BC=3
﹣3；
时，△ABC与△EFG有重叠部分．
（3）解：由（1）可知，当x＞ 分两种情况：①当
＜t≤3时，如图（4），
△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN，设AC与EF、EG分别交于点M、N，过点N作直线NP⊥EF于P，交DG于Q， 则∠EPN=∠CQN=90°， ∵NC=CG， ∴NC=DG﹣DC=3
﹣t，
﹣t）=
，
在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3 ∴PN=PQ﹣NQ=3﹣ ∵∠PMN=∠NCQ=60°， ∴sin∠PMN= ，MN= 在矩形DEFG中，EF∥DG， ∴∠MEN=∠CGN，
∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN， ∴∠EMN=∠MNE， ∴EM=MN， ∴EM=MN=t﹣
，
=
，
=t﹣
，
∴y=S△EMN= EM?PN= × ②当3＜t≤3
时，如图（5），
；
△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB与EF、EG分别交于点P、Q，AC与EF、EG分别交于点M、N，则∠EPQ=90°， ∵CG=3 ∴S△EMN=
﹣t，
，
∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，
∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）= ∴S△EPQ= EP?PQ= （t﹣3）× ∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（
，
= ）﹣（
，
）=
+（
﹣
，
综上所述，y与t的函数关系式：y= t；
．
【解析】【分析】（1）证△ABC∽△EDC，由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求（2）利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可∠EGD=30°，进而可证得∠CNG=∠EGD，则NC=CG=DG﹣BC，可求出答案；
（3）根据重叠部分可确定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式.
6．定义：如图 ，若点D在 条件的点为
的“理想点”
的边AB上，且满足
，则称满足这样
（1）如图 ，若点D是
的边AB的中点，
，
，试判断点D是
不是
的“理想点”，并说明理由；
中，
， ，
，
，若点D是
的
（2）如图 ，在 “理想点”，求CD的长；
（3）如图，已知平面直角坐标系中，点 且满足
，C为x轴正半轴上一点，
，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三
的“理想点”.
点围成的三角形的“理想点” 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：结论：点D是 理由：如图 中，
是AB中点，
，
， ， ， ， ∽
，
点D是
的“理想点”， ，
，
，
（2）解：如图 中，
点D是
或
当
时，
， ， 的“理想点”，
，
，
当 在
时，同法证明： 中，
，
，
.
，
，
，
，
（3）解：如图 中，存在 有三种情形：
过点A作
交CB的延长线于M，作
，
，
，
，
，
≌ ， ，
， ， ， ，
解得 经检验
或
舍弃 ， ， 时，点A是
的“理想点” 设
，
是分式方程的解， ，
①当
， ，设 ，
，
，
，
，
， 轴于H. ，
备战中考数学知识点过关培优训练∶相似及详细答案
