授课时间 授课题目 年 月 日 第 周 星期 第 节 等差数列（2） 学时 2 教学目标 1、掌握等差数列的 2、通过探索性学习锻炼数学思维能力 3、锻炼应用数学知识解决实际问题的能力 教学重点 等差数列的前n项和公式及应用 教学难点 前n项和公式的推导、记忆和应用 课堂类型 教学方法 教具、课件 场所、设备 新授课 讲解、互动、练习 普通教室 布置作业 P11 6—8，10题 编写日期 年 月 日 任课教师
审批意见 审批人签名 年 月 日 教学内容及过程（附后） 一、课题引入： 给学生留1）提出问题：如果让大家计算自然数1 到100这100个数的和，（注意：一点思考时间？） 能不能算出来？大约需要多长时间？ 2）德国著名数家学高斯，在小学时期就遇到了这个问题，他通过 认真思考发现了一个方法，使问题很快得到了解决。他的方法是： （注意：请学生思1 ， 2 ，3 ，4 ，5，……，96，97，98，99，100 考结果为什么是100，99，98，97，96，……，5，4 ，3 ，2 ，1 101×50，同时回对应项相加之和都是 101 ，所以计算结果是：101×50 = 5050 。 想等差数列的性质4。） 3）数学家高斯的方法简单又高效，我们能从中得到什么启示呢？ ①该问题实质上是求一个等差数列的前100项之和。 ②求一个等差数列的前n项之和，有巧妙的方法值得研究。 二、课题讲解： 1）数列的前n项和：对于一个数列{ an }，Sn = a1 +a2 +a3 + …… +an， 叫做数列的前n项和。 2）等差数列的前n项和公式①： 对于等差数列{ an }，Sn = a1 + a2 + a3 + ……+an-2+an-1 +an， 同时 Sn = an +an-1 +an-2 + ……+a2 + a3 + a1， （注意：这里用到两式对应相加得：2 Sn = （a1 + an）+（a 2 + an-1）+ ……+ （an + a1）。 了等差数列的性质4。） = n（a1 + an） n(a+a) 所以 Sn=12n ,这就是等差数列的前n项和公式。 难点突破： 如图所示的一堆圆木，从上到下每层的根数分别是4,5,6,7,8,9。 组成一个等差数列，首项a1 = 4，末项a6 = 9，项数（层数）n = 6 。 圆木的总根数就是等差数列的前6项和S6 。 ??(??+??)??(??+??) ????=?????? = ?? = 39 类比梯形的面积公式，“上底 （首项）加下底（末项），乘高（项 数）被2除。”增强记忆。 例题精讲： 例1：已知等差数列{ an }中， a1=-8，a20 =106 求S20。 解：由已知条件和前n项和公式可得 S20=n(a1+an)2 = 20(?8+106)2 = 980 。 例2：某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？ 解：将每排的座位数看成数列{an}，由题意可知 a25=70 ，d=2 。 由通项公式可得 ，70 =a1 +（25-1）×2 解得， a1 =22 由前n项和公式得，S25 = 25(22+70)2 = 1150 所以，礼堂共有1150个座位 。 3）等差数列的前n项和公式②： 将通项公式代入前n项和公式①可得 （注意：比较例2的两种解法，能得n(n?1) Sn=na1+2?? 到什么启发？） 有了这个公式，上述例2可另解： 设a1 =70 ，d = -2 ，n =25 。 25×24则 S25=25×70+2×(?2)=1150 所以，礼堂共有1150个座位 。 例题精讲： 例3：求等差数列-13，-9，-5，-1,3，……的前几项的和等于50。 解 ：设数列前n项的和是50，由已知可得 a1=-13 ,d = 4 , Sn = 50 。 ??(???1) 代入前n项和公式得 50=?13n+2×4 即 2??2?15n?50=0 5 解得 n1 = 10 ，n2 = ?2 （舍去） （注意：思考n2所以，该数列的前10项的和等于50。 舍去的原因。） 例4：小王参加工作后，从元月份开始，每月第1天存入银行1000 元，银行以月利率0.1425%计息（不计复利），试问年终12月30日结 算本金与利息之总额是多少（精确到0.01元）。 解: 元月份的存款应得利息为1000×0.1425%×12（元）； （提示：本题乍看2月份的存款应得利息为1000×0.1425%×11（元）； 与等差数列没什么关联。经过分析3月份的存款应得利息为1000×0.1425%×10（元）； 转化，用数列的前 … … n项和公式可使计算变得简单。） 12月份的存款应得利息为1000×0.1425%×1（元）。 年终应得利息总额为： S12 = 1000×0.1425%×（12+11+10+……+1）=111.15（元）。 年终应得本息总额为： 12×1000+111.15=12111.15（元）。 所以，年终应得本息总额为12111.15（元）。 延伸练习： （1）求等差数列1，4，7，10，…… 的前100项和。 （2）在等差数列{an}中a4 = 6，a9=26，求S20。 （3）如图所示，一批堆钢管放在V形架中，最上 面一层有30根，求这批钢管共有多少根。 （4）学校计划拿出资金7250万元，用10年时间 第（3）题图 逐步改善教学条件，年投入资金逐年增加50万元，试 问第一年应该投入多少万元。 重要提示： （1）先用d = an – an-1求出公差d 。 （2）先用an – ak = （n-k）d求出公差d 。 （3）重点在于读题，由题意可得 a1=1，an=30，d=1 。 （4）重点在于把实际问题模型化，即把实际问题转化为等差数列问 题。已知Sn = 7250 ，n = 10，d= 50 ，求 a1 。 难点突破： n(a1+an)前n项和公式的应用是难点之一，关键是抓住公式Sn=中 2 n(n?1)有4个变量，公式Sn=na1+2??中也是有个变量，已知其中3个， 就可以求出第四个。 对于应用题，把实际问题转化为数学（数列）问题是关键。 结合例题、练习题引导学生认真体会、总结。并在作业、课下练习中进行有针对性的练习。 三、课堂小结： 1）等差数列的前n项和公式 ① S n=n(a1+an)2 2②Sn=na1+n(n?1)?? 2）前n项和公式的推导方法 逆序相加法 ，等差数列的性质4 。 3）等差数列的性质： 前n项和公式的应用：知三求一，问题转化。 四、布置作业： P11 6-8,10 课后小计： 作业讲评：
等差数列的前n项和公式(基础模块)
