课时分层作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
x2y2
1．已知双曲线4－5＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝( )
A．3 C．25
B．35 D．5
x2y2
D [双曲线4－5＝1的右焦点为F(3,0)，F到渐近线5x＋2y＝0的距离FA＝355＋4
＝5．
则AO＝OF2－FA2＝32－5＝2．
11则S△OAF＝2FA·OA＝2×5×2＝5．]
2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 C．64
2??y＝4x，A [由?消去y得，
??y＝x－3.
B．56 D．72
x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9， ???x＝1，?x＝9，
∴?或? ???y＝－2.?y＝6.
∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2， ∴|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，故选A．]
- 1 -
π
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为3的弦AB，则弦AB的长为( ) 6A．7 7C．16
16B．7 7D．6
x2y2
B [椭圆的方程可化为4＋2＝1， ∴F(－2，0)．
又∵直线AB的斜率为3， ∴直线AB的方程为y＝3x＋6． ??y＝3x＋6，由?得7x2＋122x＋8＝0．
22??x＋2y＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1228则x1＋x2＝－7，x1·x2＝7， ∴|AB|＝
16
?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2]＝7．]
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 C．16
B．8 D．32
B [因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，
准线为x＝－2，
- 1 -
所以K(－2,0)，
设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B， 则B(－2，y0)． 因为|AK|＝2|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2， 所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
2得y0＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2， 解得x0＝2，y0＝±4，
11所以S△AFK的面积为2|KF|·|y0|＝2×4×4＝8．]
x2y25．如果AB是椭圆a2＋b2＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 C．e2－1
B．1－e D．1－e2
x2y2x2y21122C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，a2＋b2＝1，a2＋b2＝1，作差得
?x1－x2??x1＋x2??y2－y1??y2＋y1?
＝，
a2b2y2－y1y1＋y2－b2c2－a2
所以kAB·kOM＝·＝a2＝a2＝e2－1．]
x2－x1x1＋x2二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ ． 0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k≠0时，联立方程消y得：
- 1 -
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0， 由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0， ∴k＝1．]
x2y2
7．若点O和点F分别为椭圆4＋3＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任→→
意一点，则OP·FP的最大值为 ．
x2y2
6 [由4＋3＝1可得F(－1,0)．
x2?12→→?222
设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x＋x＋y＝x＋x＋3?1－4?＝4x＋x＋3
??1
＝4(x＋2)2＋2，
→→
当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6．]
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ．
5+1x2y2
2 [设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为
bby＝x，而kBF＝－． ac
b?b?
?－c?＝－1，整理得b2＝ac． ∴a·??
∴c2－a2－ac＝0．两边同除以a2，得e2－e－1＝0， 1＋51－5
解得e＝2或e＝2(舍去)．]
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三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．
?(1)如图所示，由??y2＝－x
[解] ?k?x＋1?
消去x得，ky2＋y－k＝0．
?y＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－1
k．∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y21＝－x1，y22＝－x2，∴y21·
y22＝x1x2． ∵kOA·kOB＝y1y2x1·x2＝y1y2x1x2＝1y1y2＝－1，∴OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0． 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． ∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝1|ON||y1|＋1
22|ON||y2| ＝1
2|ON|·|y1－y2|，
∴SOAB＝1△2·1·?y1＋y2?2－4y1y2 2＝1??12
?－k???
＋4． ∵S△OAB＝10，
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2024_2024学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.8直线与圆锥曲线的位置关系课时分层作业
