第二十二讲 等差数列应用
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这几个等差数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数×项数，那么中间数=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数．这种通过公式反向求解的方法在等差数列的问题中非常常见．
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例题1
一个等差数列的第1项是21，前7项的和为105，这个数列的第10项是多少？
第1项 第2项 21 第7项 第10项 ？
和105
分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢？
练习1
一个等差数列的第1项是3，前11项之和为198，这个数列的第20项是多少？
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例题2
9个连续自然数的和是126，其中最小的数是多少？ 分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几？
练习2
7个连续奇数之和为91，其中最小的数是多少？
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当然，要使用公式：和=中间数×项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数．
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例题3
已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？
第1项 ？ ？ 第2项 第15项 第21项
和为450 和为819
分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差．能不能找到这样的两项呢？
练习3
已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690．请问：这个等差数列的首项是多少？
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但并不是所有的等差数列的项数都是奇数．当项数是偶数时，只能根据公式：
和=（首项+末项）×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了．
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例题4
把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？ 分析：首项与末项的和是多少？差是多少？
练习4
把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几？
例题5
已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？
分析：通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外，还能知道其他一些信息吗？
例题6
在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609．小高发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问小高正确的分数是多少？
分析：思考下一共有几个人？改分前小高是第几个，改分后小高是第几个？
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课 堂 内 外 等比数列小故事 根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情． 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒，……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求． 这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1?2?22?23?24?????263?264?1，直接写出数字来就是18446744073709551615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！ 如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回． 国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债． 正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下．其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了．假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18446744073709551615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）．就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分．这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐．”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他． 西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐．
作业
1. 已知一个等差数列的首项是17，前7项之和为161，这个数列的第11项是多少？
2. 7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是多少？
3. 8个连续奇数之和为112，其中最小的那个数是多少？
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4. 把325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是多少？
5. 已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是多少？
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高斯小学奥数含答案三年级(上)第22讲 等差数列应用
