一元二次不等式及其解法
1.一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.
(3)一元二次不等式的解：
函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 3.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) ① {x|x1＜x＜x2} 有两相等实根 x1＝x2＝－ ② ? 无实根 R ③
f（x）＞0
g（x） ? f(x)g(x)＞0； ＜0 ? f(x)g(x)＜0；
f（x）≥0 ? ≤0 ? g（x）
()已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2)
解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.
设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( ) A.{x|x∈R} C.{x|x≥1}
B.{x|x≠1，x∈R} D.{x|x≤1}
解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b， 由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，
解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B. 已知－<<2，则x的取值范围是( ) A.－2
()若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________. 解：显然k≠0.若k＞0，则只须(2x2＋x)max＜，解得k∈?；若k＜0，则只须＜(2x2＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).
类型一 一元一次不等式的解法
已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为，求关于x的不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集.
解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集为， 得a＋b＞0，且＝－，
从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0， 将a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0，
得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：
一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隐含条件a＋b＞0且＝－是解本题的关键.
解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.
解：(1)当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时， ①当m＝－2时，原不等式的解集为?，不符合 ②当m＝2时，原不等式的解集为R,符合 (2)当m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜. (3)当m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞.
类型二 一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0. 解：(1){x|x＜3或x＞4}.
(2){x|－3≤x≤1}. (3)?.
(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R.
()已知函数f(x)＝ 则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是( )
A.{x|－1≤x≤－1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤－1} D.{x|－－1≤x≤－1} 解：由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于①
??x＋1＜0，? 或 ?x＋（x＋1）[－（x＋1）＋1]≤1?②
解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤－1. 故原不等式的解集是{x|x≤－1}.故选C.
类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系
已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值. 解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}， ∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根， ∴由韦达定理知∴
已知不等式ax＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx－bx＋a＞0的解集.
解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
b
－a＝2＋3，2
2
??c?a＝2×3，??a＜0.
即
代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0). 即6x2＋5x＋1＜0， ∴所求不等式的解集为.
类型四 含有参数的一元二次不等式
解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.
解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}； (2)当m≠0时，不等式为m(x－1)＜0. ①当m＜0，不等式为(x－1)＞0， ∵＜1，∴不等式的解集为. ②当m＞0，不等式为(x－1)＜0.
(Ⅰ)若＜1即m＞1时，不等式的解集为； (Ⅱ)若＞1即0＜m＜1时，不等式的解集为； (Ⅲ)若＝1即m＝1时，不等式的解集为?.
点拨：
当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论.
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，解集为(－∞，－1].
当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时， 解集为(－∞，－1]∪； 当－2＜a＜0时，解集为； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，解集为.
类型五 分式不等式的解法
(1)解不等式≤1.
解：≤1 ? －1≤0 ? ≤0 ? ≥0. x＋2
≥0 ? 2x＋1
得{xx＞－或x≤－2}.
※(2)不等式＞0的解集是 . 解：＞0?＞0? (x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，
数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}. 点拨：
分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.
※
用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.
(1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )
A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0＜x≤1} C.{x|0≤x≤2}
D.{x|0≤x≤1}
解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组 的解集，求出B＝，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.故选B.
(2)不等式≤0的解集为( ) A. B.
C.∪[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 解：≤0?
得－ 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－ D.－3 解：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈， ∴a≥－.∵f(x)＝在上是减函数， ∴＝－.∴a≥－. (2)已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( ) A.1＜x＜3 C.1＜x＜2 B.x＜1或x＞3 D.x＜1或x＞2 解：记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]， 依题意，只须??x＜1或x＞3，故选B. 点拨： 对于参数变化的情形，大多利用 参 变 量 转 换 法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围. 对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围. 解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有： 即 解得 ∴x＜－1或x＞3. 类型七 二次方程根的讨论 若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是( ) A.a<－1 B.a>1 C.－1 D.0≤a<1 解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1. 解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B. 1.不等式≤0的解集是( )
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案).doc
