2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理
时间:45分钟
基础组
1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( ) 12
A.若x≠kπ,k∈Z,则sinx+2≥4
sinx4
B.若a<0,则a+≥-4
aC.若a>0,b>0,则lga+lgb≥2lga·lgb D.若a<0,b<0,则+≥2 答案 D
42
解析 当sinx=1时,1+1=2<4,所以A错;若a<0,则a+≤-4,B错;因为lg a,
aabbalg b可以小于零,C错;由a<0,b<0,所以,都大于零,D正确.
2.[2016·武邑中学一轮检测]若不等式取值范围是( )
baabt2
t+2
≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立,则a的t+9t?1?A.?,1?
?6??14?C.?,? ?613?
答案 D 解析
=t+9
2
?1?B.?,22? ?6?
D.?
?2,1?
??13?
t99913t12
,而t+在(0,2]上单调递减,故t+≥2+=,2=≤9tt22t+9913t+t+1
tt(当且仅当t=2时等号成立),t+21211t+212?11?21
=+2=2=+2=2?+?-,因为≥,所以tttt2t2tt?t4?8
?11?21?2?2?+?-≥1(当且仅当t=2时等号成立),故a的取值范围为?,1?.
?t4?8?13?
12
3.[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0,则2a++是( )
A.2 C.25 答案 B 解析 原式=a+
2
aba12
-10ac+25c的最小值a-bB.4 D.5
1
1aa-b1a-b4
ab++a-10ac+25c=a+
222
b+(a-5c)≥a+22
a242
+0≥4,当且仅当b=a-b、a=5c且a=2,即a=2b=5c=2时等号成立,故原式的最
a小值为4.故选B.
1
4.[2016·衡水中学热身]已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值为( )
ab1A. 41C. 2答案 C
B.4 D.2
11
解析 由4=2a+b≥22ab,得ab≤2,又a>0,b>0,所以≥,当且仅当a=1,bab2=2时等号成立.
5. [2016·枣强中学期中]已知正数x,y满足x+2y=2,则答案 9 解析 由已知得
x+8y的最小值为________. xyx+2y2
=1,则
x+8y18?18??x+2y?1x16y1
)≥(10+=+=?+??=( 10++?xyyx?yx??2?2yx2
41
216)=9,当且仅当x=,y=时取等号.
33
2y8x2
6.[2016·衡水二中预测]已知x>0,y>0,若+>m+2m恒成立,则实数m的取值
xy范围是________.
答案 -4 2y8x解析 根据题意,x>0,y>0,则>0,>0, xy2y8x所以+≥2xy2y8x2y8x×=8,当且仅当=时, xyxy2y8x即y=2x时等号成立,即+的最小值为8. xy2y8x22 若+>m+2m恒成立,必有m+2m<8恒成立, xy所以m+2m<8,m+2m-8<0,即-4 7.[2016·枣强中学期末]已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2+4的最小值为________. 答案 42 解析 由题意得,点P在线段AB的中垂线上,则易得x+2y=3, ∴2+4≥22·4=22小值为42. 8.[2016·衡水二中模拟]已知x,y∈R,满足x+2xy+4y=6,则z=x+4y的取值范围为________. 答案 [4,12] 2 2 2 2 22 xyxyxyx+2y3xy=42,当且仅当x=2y=时,等号成立,故2+4的最 2 解析 ∵2xy=6-(x+4y),而2xy≤ 2 22 x2+4y2 2 ,∴6-(x+4y)≤22 x2+4y2 2 ,∴x+4y≥4, 2 2 22 当且仅当x=2y时取等号.又∵(x+2y)=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x+4y=6-2xy≤12.综上可得4≤x+4y≤12. 2 2 ?1-1?9.[2016·武邑中学预测]已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:?? ?x? ?1-1??1-1?>8. ?y??z????? 11-xy+z2yz证明 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以-1==> xxxx① 1 y1 1-yx+z2xz-1==> ②, yzyzyzz1-zx+y2xy-1==> ③, 又x,y,z为正数,由①×②×③,得 ?1-1??1-1??1-1?>8. ?x??y??z??????? 10.[2016·冀州中学仿真]证明:证明 因为a>3,所以3=7. 当且仅当 4 =a-3,即a=5时,等号成立. a-3 4 +a≥7(a>3). a-3 4a-3 44+a=+(a-3)+3≥2a-3a-3 a-+3=2×4+ 11.[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)+lg y=lg (x+y-1). (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值. 解 由lg (3x)+lg y=lg (x+y+1), x>0,?? 得?y>0,??3xy=x+y+1. (1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2xy+1. ∴3xy-2xy-1≥0, 即3(xy)-2xy-1≥0, ∴(3xy+1)(xy-1)≥0, ∴xy≥1,∴xy≥1. 当且仅当x=y=1时,等号成立. ∴xy的最小值为1. 2 (2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·?∴3(x+y)-4(x+y)-4≥0, 2 ?x+y?2. ??2? ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2, 当且仅当x=y=1时取等号, ∴x+y的最小值为2. 12. [2016·衡水二中期末]如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)?
2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理



