2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理
时间：45分钟
基础组
1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( ) 12
A．若x≠kπ，k∈Z，则sinx＋2≥4
sinx4
B．若a<0，则a＋≥－4
aC．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2lga·lgb D．若a<0，b<0，则＋≥2 答案 D
42
解析 当sinx＝1时，1＋1＝2<4，所以A错；若a<0，则a＋≤－4，B错；因为lg a，
aabbalg b可以小于零，C错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正确．
2．[2016·武邑中学一轮检测]若不等式取值范围是( )
baabt2
t＋2
≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立，则a的t＋9t?1?A.?，1?
?6??14?C.?，? ?613?
答案 D 解析
＝t＋9
2
?1?B.?，22? ?6?
D.?
?2，1?
??13?
t99913t12
，而t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，2＝≤9tt22t＋9913t＋t＋1
tt(当且仅当t＝2时等号成立)，t＋21211t＋212?11?21
＝＋2＝2＝＋2＝2?＋?－，因为≥，所以tttt2t2tt?t4?8
?11?21?2?2?＋?－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为?，1?.
?t4?8?13?
12
3．[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0，则2a＋＋是( )
A．2 C．25 答案 B 解析 原式＝a＋
2
aba12
－10ac＋25c的最小值a－bB．4 D．5
1
1aa－b1a－b4
ab＋＋a－10ac＋25c＝a＋
222
b＋(a－5c)≥a＋22
a242
＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a＝2，即a＝2b＝5c＝2时等号成立，故原式的最
a小值为4.故选B.
1
4．[2016·衡水中学热身]已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为( )
ab1A. 41C. 2答案 C
B．4 D．2
11
解析 由4＝2a＋b≥22ab，得ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当a＝1，bab2＝2时等号成立．
5. [2016·枣强中学期中]已知正数x，y满足x＋2y＝2，则答案 9 解析 由已知得
x＋8y的最小值为________． xyx＋2y2
＝1，则
x＋8y18?18??x＋2y?1x16y1
)≥(10＋＝＋＝?＋??＝( 10＋＋?xyyx?yx??2?2yx2
41
216)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．
33
2y8x2
6．[2016·衡水二中预测]已知x>0，y>0，若＋>m＋2m恒成立，则实数m的取值
xy范围是________．
答案 －4 2y8x解析 根据题意，x>0，y>0，则>0，>0， xy2y8x所以＋≥2xy2y8x2y8x×＝8，当且仅当＝时， xyxy2y8x即y＝2x时等号成立，即＋的最小值为8. xy2y8x22 若＋>m＋2m恒成立，必有m＋2m<8恒成立， xy所以m＋2m<8，m＋2m－8<0，即－4 7．[2016·枣强中学期末]已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2＋4的最小值为________． 答案 42 解析 由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3， ∴2＋4≥22·4＝22小值为42. 8．[2016·衡水二中模拟]已知x，y∈R，满足x＋2xy＋4y＝6，则z＝x＋4y的取值范围为________． 答案 [4,12] 2 2 2 2 22 xyxyxyx＋2y3xy＝42，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故2＋4的最 2 解析 ∵2xy＝6－(x＋4y)，而2xy≤ 2 22 x2＋4y2 2 ，∴6－(x＋4y)≤22 x2＋4y2 2 ，∴x＋4y≥4， 2 2 22 当且仅当x＝2y时取等号．又∵(x＋2y)＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x＋4y＝6－2xy≤12.综上可得4≤x＋4y≤12. 2 2 ?1－1?9．[2016·武邑中学预测]已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：?? ?x? ?1－1??1－1?>8. ?y??z????? 11－xy＋z2yz证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝> xxxx① 1 y1 1－yx＋z2xz－1＝＝> ②， yzyzyzz1－zx＋y2xy－1＝＝> ③， 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 ?1－1??1－1??1－1?>8. ?x??y??z??????? 10．[2016·冀州中学仿真]证明：证明 因为a>3，所以3＝7. 当且仅当 4 ＝a－3，即a＝5时，等号成立． a－3 4 ＋a≥7(a>3)． a－3 4a－3 44＋a＝＋(a－3)＋3≥2a－3a－3 a－＋3＝2×4＋ 11．[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y－1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， x>0，?? 得?y>0，??3xy＝x＋y＋1. (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1. ∴3xy－2xy－1≥0， 即3(xy)－2xy－1≥0， ∴(3xy＋1)(xy－1)≥0， ∴xy≥1，∴xy≥1. 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. 2 (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·?∴3(x＋y)－4(x＋y)－4≥0， 2 ?x＋y?2. ??2? ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. 12. [2016·衡水二中期末]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)? 解 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y＝，其中k为比例系数，且k>0. 根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， 30－a所以b＝(0 2＋a30－a30a－a所以ab＝a×＝ 2＋a2＋a64 ＝－a＋32－ 2＋a＝34－?a＋2＋≤34－2当a＋2＝ 2 kab?? 64? a＋2?? 64 ＝18. a＋2 a＋ 64 时取等号，y达到最小值． a＋2 此时解得a＝6，b＝3. 所以当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y＝，其中k为比例系数，且k>0. 根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， 即2b＋ab＋a＝30. kab因为a＋2b≥22ab，所以30－ab＝a＋2b≥22ab. 所以ab＋22ab－30≤0. 因为a>0，b>0，所以0 所以当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 能力组 13.[2016·冀州中学预测]若不等式范围是( ) t＋2 ≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值t＋9t2 t?1?A.?，1? ?6??14?C.?，? ?613? 答案 D 解析 ＝t＋9 2 ?1?B.?，22? ?6? D.? ?2，1? ??13? t99913t1 ，而y＝t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，2＝9tt22t＋99t＋t＋1 tt2t＋212?11?21因为1≥1，所以t＋2＝1＋2 ≤(当且仅当t＝2时等号成立)，2＝＋2＝2?＋?－，13tttt2t2tt2?t4?8 ?11?21?2?＝2?＋?－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为?，1?. ?t4?8?13? 3＋3x＋y14. [2016·衡水二中期中]设M＝，N＝(3)，P＝3xy(x，y>0，且x≠y)， 2则M，N，P大小关系为( ) A．M 3＋3x＋yxyx＋y解析 由基本不等式可知≥33＝3＝3≥3xy，因为x≠y，所以等号 22不成立，故P 15．[2016·衡水中学热身]若实数x，y满足x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 答案 23 3 2 2 2 2 2 2 2 xyB．N xy解析 (x＋y)＝x＋2xy＋y＝x＋xy＋y＋xy＝1＋xy，要使其有最大值，不妨设x，y122 均为正数，故有x＋y＋xy＝1≥2xy＋xy＝3xy，即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以 34232 (x＋y)＝1＋xy≤，则x＋y的最大值是. 33 16. [2016·武邑中学月考]某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的
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