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2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理

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2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理

时间:45分钟

基础组

1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( ) 12

A.若x≠kπ,k∈Z,则sinx+2≥4

sinx4

B.若a<0,则a+≥-4

aC.若a>0,b>0,则lga+lgb≥2lga·lgb D.若a<0,b<0,则+≥2 答案 D

42

解析 当sinx=1时,1+1=2<4,所以A错;若a<0,则a+≤-4,B错;因为lg a,

aabbalg b可以小于零,C错;由a<0,b<0,所以,都大于零,D正确.

2.[2016·武邑中学一轮检测]若不等式取值范围是( )

baabt2

t+2

≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立,则a的t+9t?1?A.?,1?

?6??14?C.?,? ?613?

答案 D 解析

=t+9

2

?1?B.?,22? ?6?

D.?

?2,1?

??13?

t99913t12

,而t+在(0,2]上单调递减,故t+≥2+=,2=≤9tt22t+9913t+t+1

tt(当且仅当t=2时等号成立),t+21211t+212?11?21

=+2=2=+2=2?+?-,因为≥,所以tttt2t2tt?t4?8

?11?21?2?2?+?-≥1(当且仅当t=2时等号成立),故a的取值范围为?,1?.

?t4?8?13?

12

3.[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0,则2a++是( )

A.2 C.25 答案 B 解析 原式=a+

2

aba12

-10ac+25c的最小值a-bB.4 D.5

1

1aa-b1a-b4

ab++a-10ac+25c=a+

222

b+(a-5c)≥a+22

a242

+0≥4,当且仅当b=a-b、a=5c且a=2,即a=2b=5c=2时等号成立,故原式的最

a小值为4.故选B.

1

4.[2016·衡水中学热身]已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值为( )

ab1A. 41C. 2答案 C

B.4 D.2

11

解析 由4=2a+b≥22ab,得ab≤2,又a>0,b>0,所以≥,当且仅当a=1,bab2=2时等号成立.

5. [2016·枣强中学期中]已知正数x,y满足x+2y=2,则答案 9 解析 由已知得

x+8y的最小值为________. xyx+2y2

=1,则

x+8y18?18??x+2y?1x16y1

)≥(10+=+=?+??=( 10++?xyyx?yx??2?2yx2

41

216)=9,当且仅当x=,y=时取等号.

33

2y8x2

6.[2016·衡水二中预测]已知x>0,y>0,若+>m+2m恒成立,则实数m的取值

xy范围是________.

答案 -4

2y8x解析 根据题意,x>0,y>0,则>0,>0,

xy2y8x所以+≥2xy2y8x2y8x×=8,当且仅当=时,

xyxy2y8x即y=2x时等号成立,即+的最小值为8.

xy2y8x22

若+>m+2m恒成立,必有m+2m<8恒成立,

xy所以m+2m<8,m+2m-8<0,即-4

7.[2016·枣强中学期末]已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2+4的最小值为________.

答案 42

解析 由题意得,点P在线段AB的中垂线上,则易得x+2y=3, ∴2+4≥22·4=22小值为42.

8.[2016·衡水二中模拟]已知x,y∈R,满足x+2xy+4y=6,则z=x+4y的取值范围为________.

答案 [4,12]

2

2

2

2

22

xyxyxyx+2y3xy=42,当且仅当x=2y=时,等号成立,故2+4的最

2

解析 ∵2xy=6-(x+4y),而2xy≤

2

22

x2+4y2

2

,∴6-(x+4y)≤22

x2+4y2

2

,∴x+4y≥4,

2

2

22

当且仅当x=2y时取等号.又∵(x+2y)=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x+4y=6-2xy≤12.综上可得4≤x+4y≤12.

2

2

?1-1?9.[2016·武邑中学预测]已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:??

?x?

?1-1??1-1?>8. ?y??z?????

11-xy+z2yz证明 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以-1==>

xxxx①

1

y1

1-yx+z2xz-1==> ②,

yzyzyzz1-zx+y2xy-1==> ③,

又x,y,z为正数,由①×②×③,得

?1-1??1-1??1-1?>8. ?x??y??z???????

10.[2016·冀州中学仿真]证明:证明 因为a>3,所以3=7.

当且仅当

4

=a-3,即a=5时,等号成立. a-3

4

+a≥7(a>3). a-3

4a-3

44+a=+(a-3)+3≥2a-3a-3

a-+3=2×4+

11.[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)+lg y=lg (x+y-1). (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值.

解 由lg (3x)+lg y=lg (x+y+1),

x>0,??

得?y>0,??3xy=x+y+1.

(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2xy+1. ∴3xy-2xy-1≥0, 即3(xy)-2xy-1≥0, ∴(3xy+1)(xy-1)≥0, ∴xy≥1,∴xy≥1.

当且仅当x=y=1时,等号成立. ∴xy的最小值为1.

2

(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·?∴3(x+y)-4(x+y)-4≥0,

2

?x+y?2.

??2?

∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2, 当且仅当x=y=1时取等号, ∴x+y的最小值为2.

12. [2016·衡水二中期末]如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)?

解 解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数, 则y=,其中k为比例系数,且k>0. 根据题意有,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 30-a所以b=(0

2+a30-a30a-a所以ab=a×= 2+a2+a64

=-a+32-

2+a=34-?a+2+≤34-2当a+2=

2

kab??

64? a+2??

64

=18. a+2

a+

64

时取等号,y达到最小值. a+2

此时解得a=6,b=3.

所以当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:设y为流出的水中杂质的质量分数, 则y=,其中k为比例系数,且k>0. 根据题意有,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 即2b+ab+a=30.

kab因为a+2b≥22ab,所以30-ab=a+2b≥22ab. 所以ab+22ab-30≤0. 因为a>0,b>0,所以0

所以当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

能力组

13.[2016·冀州中学预测]若不等式范围是( )

t+2

≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值t+9t2

t?1?A.?,1?

?6??14?C.?,? ?613?

答案 D 解析

=t+9

2

?1?B.?,22? ?6?

D.?

?2,1?

??13?

t99913t1

,而y=t+在(0,2]上单调递减,故t+≥2+=,2=9tt22t+99t+t+1

tt2t+212?11?21因为1≥1,所以t+2=1+2

≤(当且仅当t=2时等号成立),2=+2=2?+?-,13tttt2t2tt2?t4?8

?11?21?2?=2?+?-≥1(当且仅当t=2时等号成立),故a的取值范围为?,1?. ?t4?8?13?

3+3x+y14. [2016·衡水二中期中]设M=,N=(3),P=3xy(x,y>0,且x≠y),

2则M,N,P大小关系为( )

A.M

3+3x+yxyx+y解析 由基本不等式可知≥33=3=3≥3xy,因为x≠y,所以等号

22不成立,故P

15.[2016·衡水中学热身]若实数x,y满足x+y+xy=1,则x+y的最大值是________.

答案

23

3

2

2

2

2

2

2

2

xyB.N

xy解析 (x+y)=x+2xy+y=x+xy+y+xy=1+xy,要使其有最大值,不妨设x,y122

均为正数,故有x+y+xy=1≥2xy+xy=3xy,即xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以

34232

(x+y)=1+xy≤,则x+y的最大值是.

33

16. [2016·武邑中学月考]某厂家拟在2015年举行促销活动,经调查测算,该产品的

2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理

2017高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式课时练理时间:45分钟基础组1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是()12A.若x≠kπ,k∈Z,则sinx+2≥4sinx4B.若a<0,则a+≥-4aC.若a>0,b>0,则lga+lgb≥2lga·lg
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