2021届全国新高考数学备考复习
不等式知识点总结
1、不等式的基本性质
①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c
③（可加性）a?b?a?c?b?c （同向可加性）a（异向可减性）a④（可积性）a??b,c?d?a?c?b?d
?b,c?d?a?c?b?db,c?0?ac?bc ；a?b,c?0?ac?bc
ab? cd⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd （异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?nna?b?0?a?b(n?N,且n?1) ⑥（平方法则）
⑦（开方法则）
a?b?0?na?1a1bnb(n?N,且n?1)
11? ab⑧（倒数法则）a?b?0??;a?b?0?2、几个重要不等式
①a?b?2ab?a，b?R?,（当且仅当a?b时取\?\号）.
22a2?b2. 变形公式：ab?2a?b?②（基本不等式）
2到等号）.
ab ?a，b?R??,（当且仅当a?b时取
?a?b?变形公式： a?b?2ab ab??（积?.用基本不等式求最值时
?2?
2定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）
a?b?c?33abc(a、b、c?R?)（当且仅当a?b?c时取到等号）.
222a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R?（当且仅当a?b?c时取到等号）. ④
⑤a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)（当且仅当a?b?c时取到等号）. ⑥若ab?0,则baba??2（当仅当a=b时取等号）若ab?0,则???2（当abab333仅当a=b时取等号） ⑦
bb?ma?na其中(a?b?0，m?0，n?0)规律：小于1同加??1??aa?mb?nb则变大，大于1同加则变小.
⑧当a?0时，x?a?x2?a2?x??a或x?a; x?a?x2?a2??a?x?a. ⑨绝对值三角不等式a?b?a?b?a?b. 3、几个著名不等式①平均不等式：
2?a?1?b?1a?bab??2a2?b22?a，b?R?,
?（当且仅当a?b时取\?\号）.（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）.
(a?b)2a2?b2?a?b?22. 变形公式：ab??; a?b???22?2?2②幂平均不等式：a12?a22?...?an2?③二维形式的三角不等式：
1(a1?a2?...?an)2. nx12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2(x1,y1,x2,y2?R).
22222(a?b)(c?d)?(ac?bd)(a,b,c,d?R).当且仅④二维形式的柯西不等式
当ad?bc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：(a1?a2?a3)(b1?b2?b3)?(a1b1?a2b2?a3b3).
2222222(a?a?...?a)(b?b?...?b)?(ab?ab?...?ab)⑥一般形式的柯西不等式：12n12n1122nn.
2222222⑦向量形式的柯西不等式：
ururururururur设?,?是两个向量，则??????,当且仅当?是零向量，或存在实
urur数k，使??k?时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设a1?a2?...?an,b1?b2?...?bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则
a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1c1?a2c2?...?ancn?a1b1?a2b2?...?anbn.（反序和?乱序和
?顺序和）
当且仅当a1?a2?...?an或b1?b2?...?bn时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有f(称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如(a?1231)??(a?)2; 242x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.则22②将分子或分母放大（缩小），如
11?,2kk(k?1)
11?,2kk(k?1)1?k
(22k?2k?k?)1?k2k?k?1,2k?k?1(k?N*,k?1)等.
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