一、能力突破训练
1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为 ( ) A.20 B.-20 C.10 D.-10
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=( ) A.4 B.5 C.2 D.25
3.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为( ) A.2 B.200 C.-2 D.0
4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
5.已知数列{an}满足,且a2=2,则a4等于 ( ) A.- B.23 C.12 D.11
6.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为 . 7.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .
8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则= .
9.已知Sn*n为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2(n∈N).
(1)求证:{ann-2}为等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn.
10.(2018全国Ⅱ,理17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.
11.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16. (1)若a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数t的值;
(2)若在之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得
,b1,b2,…,bk,
成等差数列,求k的值.
1
二、思维提升训练
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
001
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是012
2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于( )
A.1- B.
C.1- D.
*14.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N恒成立,则B-A的最小值为 .
*15.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N,Sn∈{2,3},则k的最大值为 .
16.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.
*32
17.若数列{an}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N有an·Sn=2n-n. (1)求数列{an}的通项公式.
n-1*(2)是否存在数列{bn},使得数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)2(n∈N)?若存在,求出数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由. 2
专题能力训练11 等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1.D 解析 因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.
2.A 解析 由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9==4.故选A.
3.A 解析 设公比为q,∵an+2an+1+an+2=0,
∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0, ∴q2+2q+1=0,∴q=-1.
又a1=2,∴S101==2.
4.B 解析 设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.
∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0. ∵d≠0,
∴a1d=-d2<0,且a1=-d. ∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.
5.D 解析 由已知得a4=11.故选D. 6.16 解析 因为S10==2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以
=40?a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以
a3·a8=16,当且仅当a3=a8=4时取等号. 7.64 解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
两式相除得解得q=,a1=8,
,
所以a1a2…an=8
n,抛物线f(n)=-n+n的对称轴为n=-2
=3.5,
又n∈N,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为
*=26=64.
3
8 解析 由题意知
解得xz=
y2=y2,x+z=y,
从而
n9.(1)证明 由an+1=3an-2可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n). 又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,
1
得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-2=3≠0.
n故{an-2}为等比数列.
nn-1nnn(2)解 由(1)可知an-2=3(a1-2)=3,∴an=2+3,
-2=-2=
=2n+1+
10.解 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
22
(2)由(1)得Sn=n-8n=(n-4)-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
11.解 设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.
∴Sn=(1)∵a1+a2+…+a2n=t(
+…+),
=t(2)且
,即, 成等差数列, ,且
=t对n∈N都成立,∴t=3.
*=1,
,b1,b2,…,bk,
∴公差d=即-1=(k+1)
=-=(k+1)d,
,解得k=13.
二、思维提升训练
12.A 解析 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第
n组的项数为n,则前n组的项数和为
-n=2n+1-2-n.
第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为
4
由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数
应与-2-n互为相反数,即2-1=2+n(k∈
kN满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则SN-*
N,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.
所以N=n-1
+5=440,故选A.
n-1
n-1
n2n-1
13.B 解析 因为an=1×2=2,所以anan+1=2·2=2=2×4n-1,所以
所以是等比数列.
故Tn=14
+…+,
上单调递增(y≠0),
解析 易得Sn=1-因为y=Sn-所以y[A,B],因此B-A的最小值为
15.4 解析 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.
16.解 (1)设数列{an}的公比为q.
由=9a2a6得=9,所以q= 由条件可知q>0,故q=
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1= 故数列{an}的通项公式为an= (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
2
=-(1+2+…+n)=-故
=-+…+
=-2,
5
备战高考数学大二轮复习专题四数列专题能力训练11等差数列与等比数列理
