1??1??1??1??1?. ????222?n??23n??????1??1??1??解： lim?1?2??1?2???1?2?
n??2??3??n??1324n?1n?11n?11 ?lim???????lim??.
n??2233n??nn2n21、求极限 lim?1??sinx?x22、求极限lim??.
x?0x??lim?sinx?x2解： lim???ex?0x?0?x?1lnsinxx2x161?exxcosx?sinx?sinxx2limx?02x
?ex?0limxcosx?sinx2x3?ex?0lim?sinx6x?e .
??3、求解：
???(x2?25?2x3?3x?1)cos2xdx.
????(x2?25?2x?3x?1)cosxdx??2?cos2xdx
?2321??2(1?cos2x)dx??x?. sin2x???2?022??0???y?在点?1,1,?的切平面方程及法线方程。
4?x?1??????1解：zx?1,1,???,zy?1,1,??，
4?24?2??4、求曲面z?arctan所以，切平面方程为：x?y?2z?5、设F(x)?解： F?(x)??2?0，法线方程为：
x?1y?14. ???11?2z???x2xe?xydy，求F?(x).
(?y2)e?xydy?2x?e?x?e?x．
2222x?y?z?a,z?0． (x?y?z)dS，其中为上半球面S??2532?x2x6、计算曲面积分解：
7、计算二重积分解：
S??(x?y?z)dS??aS23.
2?yx??ed?，其中D是由直线x?0,y?1及y?x围成的区域. D1y2?y2??xD2e?y2d???dy?xe00113?y2dy11dx??ye??.
3063e2canc1、设0?c?1，a1?，an?1??，n?1,2,???.证明：数列?an?收敛，并求其极限。
222
证明：先由数学归纳法证明an?an?1?c，所以数列?an?单调递增且有上界。
ca2由单调有界原理数列?an?收敛，令liman?a，则a??，解得a?1?1?c2.
n??222、设f(x)在闭区间[0,a]上连续（a?0），且f(0)?f(a).证明：对任意自然数n，至少存在一
a??a??点???,a?，使得f(?)?f????.
n??n??aa?a?证明：令F(x)?f(x)?f(x?),?x?a.则F在?,a?上连续。又
nn?n?a2anaF()?F()???F()?f(a)?f(0)?0， nnniaiaia所以F()(i?1,2,?n)不可能同时为正或同时为负，若有某项F(0)?0，则取??0即
nnn可。否则至少有两项异号，由根的存在性定理可得结论。
?11a?03、已知n，级数?发散。证明：级数?发散。
n?1an?1n?1an?11lim?0，所以 证明：（反证） 假设级数?收敛，则n??an?1n?1an?1?1?1an1lim?lim?1，由比较判别法，级数?收敛。与题设矛盾。 n??n??11n?1an1?an?1an?1所以级数
4、设f(x,y)在开区域D?R2上对x连续，对y满足利普希茨条件： f(x,y?)?f(x,y??)?Ly??y??，
其中(x,y?),(x,y??)?G,L为正常数。证明：f在D上处处连续。
证明： 任取(x0,y0)?D，因为
1发散。 ?a?1n?1n?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)
?f(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)?f(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?f(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)|?|f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
?L?y|?|f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
并且f(x,y)对x连续。所以，对???0,????0，当?x???时，
|f(x0??x,y0)?f(x0,y0)??2f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)
，令??min????,???，则当?x??,?y??时，有 ?2L??L?y|?|f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
??
所以f在点(x0,y0)处连续，由(x0,y0)的任意性可得f在D上处处连续。
西南大学2015年《数学分析》考研真题答案
