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4.2平行线分线段成比例
知识梳理 AED平行线分线段成比例定理及其推论 DAl11. 平行线分线段成比例定理： 三条_________截两条直线， AEBEDl2所得的________线段的比________。
CFl3CCBBBCEFABDEABAC如下图，如果l1∥l2∥l3，则，，. ???ACDFACDFDEDF2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______ADAEDE线段的比_________.如图，在三角形中，如果DE∥BC，则 ??ABACBC3. 平行的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线 于三角形的第三边。如上图，如果有专题讲解 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
ADAEDE，那么DE∥ BC。 ??ABACBCADE【例1】 如图，DE∥BC，且DB?AE,若AB?5，AC?10，求AE的长。
BC【例2】 如图，已知AB//EF//CD，若AB?a，CD?b，EF?c，求证：??.
BF1c1a1bACEDC
【巩固】如图，AB?BD，CD?BD，垂足分别为B、D，AC和
AEBD相交于点E，EF?BD，垂足为F.证明：
111. ??ABCDEFBFD
ACEFD【巩固】如图，找出S?ABD、S?BED、S?BCD之间的关系，并证明你的结论.
B
DCFO
【例3】 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， AB?12，CD?9，过对角线交点O作
EF∥CD交AD，BC于E，F，求EF的长。
AEB
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?a，BC?b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。 EDA
1
BFCPQ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题
1（1）如图（1），在?ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE?AB， M4BC
?_______. 连接EM并延长，交BC的延长线于D，则
CCDB(1)A（2）如图（2），已知?ABC中，AE:EB?1:3，BD:DC?2:1，AD与CE相交于F，
EEFAF53?则 的值为（ ）A. B.1 C. D.2 FCFD22例4、如图，在?ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O. AE1AO（1）当的值； ?时，求
AC2ADAE11AO（2）当的值； A?、时，求
AC34ADOBEDFD(2)C（3）试猜想
AE1AO时的值，并证明你的猜想. ?ACn?1ADBEDCA【例4】 如图，AD是?ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.
（1）如果E是AD的中点，求证：
AF1?； FC2EBDFC（2）由（1）知，当E是AD中点时，
AF1AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、D 不重合），??FC2ED上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD
B上的一点，且BE?AC，延长BE交AC于F。求证：AF?EF。
EDAF
CABDPE
【例5】 （宁德市中考题）如图，?ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，
延长AB交CE的延长线于P。若AD?2DE，求证:AP?3AB。
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ?ABC中，
1若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1?a；
21?a?3若D2、E2分别是D1B、E1C的中点，则D2E2???a??a；
2?2?41?3?7若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3??a?a??a；
2?4?8
2
C
AD1D2D3DnBE1E2E3EnC……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
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若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点，则DnEn?_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例6】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P. 求证：PM?PN?PR?PS
MABDlRSOCNAP
B
E
【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD∥EF， AC的延长线交EF于G．求证：EG?GF．
DCGF
AEMPBDNC【例7】 已知：P为?ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对
ADAE边AC、AB于D、E，求证：??1
DCEBAMGBEHFC
【例8】 在?ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中
线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM?5:3:2
DEBMFANC
【例9】 如图，M、N为?ABC边BC上的两点，且满足BM?MN?NC，一条
平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F. 求证：EF?3DE.
【例10】 已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连
接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.
3
DAEMFBC……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AD?3，BC?9，AB?6,CD?4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相 等，求EF的长。
BE（1）求证：EF//CD
（2）若AB?a,CD?b，求EF的长.
ADFC
【例11】 （山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延
长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB?a，AD?c，BE?b,求BF的值。
CE?CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K．
DOFABEC【例12】 已知等腰直角?ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且
ECD求证：BL?LK．
家庭作业 BLKAC2【习题1】 如已知DE∥AB，OA?OC?OE，求证：AD∥BC.
DOAE
BA求证：AD?BP?AE?CP.
【习题2】 在?ABC中，BD?CE，DE的延长线交BC的延长线于P，
直线DE和BC的延长线相交于P，求证：
DECP
B【习题3】 如图，在?ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD?AE，
BPBD ?CPCEDA 4
BCEP
平行线分线段成比例培优精编版
