3．1.2 函数的表示法(一)
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点 函数的表示方法
思考 函数三种表示法的优缺点？ 答案
1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × ) 2．任何一个函数都可以用图象法表示．( × ) 3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ ) 4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( × )
一、函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解 (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 跟踪训练1 由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x y
A.1 B．2 C．4 D．5 答案 B
解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2. 二、求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)． 解 (1)方法一 (换元法)
设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二 (配凑法)
∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1， ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
1 4 2 5 3 3 4 2 5 1
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
???2a＝2，?a＝1，?∴解得?∴f(x)＝x2－x＋1. ?a＋b＝0，???b＝－1，
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________． 答案 f(x)＝x2－4(x≥2)
解析 因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， 所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________. 1
答案 2x－或－2x＋1
3
解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
?2???a＝4，
?所以解得?1?ab＋b＝－1，b＝－??
a＝2，
3
?
??a＝－2，
或? ?b＝1.?
1
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
3三、函数的图象
例3 作出下列函数的图象． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； 2
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
x(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．
新人教版高中数学必修第一册全套课时作业第三章 3.1.2(一)
