专题13 基本不等式及其应用
【目标导向】
掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单的问题。 【知识要点梳理】 1.基本不等式
(1)a+b≥2ab（a，b∈R），
a2?b2 该不等式可推广为a+b≥2|ab|；或变形为|ab|≤；
22
2
2
2
(2)当a，b≥0时，a+b≥2ab
?a?b? ab≤??.
?2?2.算术平均数：
2a?b （a,b为正数） 2 几何平均数：ab
a?b?ab的几何解释： 2 A
a D C b B D’ 3.不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具 体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。利用基本不等式求最值要注意三点：一正，二定，三相等。
研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。
【典型例题分析】
例1、已知实数a,b判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） （5）a?a?bba2222?ab ；（2）a?b??2ab；（3）a?b?ab；（4）??2
ab2ab12a2?b2）?(a?b)2 ?2； （6） ??2 （7）（baa
正确：（2）（3）（6）（7）
例2.已知ab?o,求证 证：略
变式练习：1.已知ab?o,求 答案：(??,?2] 2.已知函数y?x?
答案：[2,??)
3.求函数y?2x?
答案：当且仅当x??4
4.已知
答案：当且仅当x=2时y有最小值为2
5.求函数y?x?2ba??2，并指出等号成立的条件。 abba?的取值范围。 ab1当x>0时，求y的取值范围。 x1的最小值，并指出当x为多少时取得最小值。 2x1时，y有最小值为22 2y?x?1(x?1)求当x为何值时，y取的最小值。 x?13的取值范围。 x?2 答案：(??,?23?2][23?2,??)
例3、求函数y?2x?23,(x?0)的最大值，下列解法是否正确？为什么？ x31112?2x2???332x2???334 xxxxx解一： y?2x2?∴ymin?334
33123232解二：y?2x??22x??26x当2x?即x?时
xx2x23 ymin?26?
12?23312?26324 2例4、已知x,y?R,且2x?y?1，求xy的最大值。
【解析】利用基本不等式求最值，关键抓住两个要点：（1）求积的最大值其和必须为定值，求和的最小值其积必须为定值；（2）等号必须成立，当然正实数是前提。 【答案】5 变式练习：
（1）已知x,y?R，且x?y?1，求xy的最大值； （2）已知x,y?R，xy?2，求3x?y?1的最小值。
【解析】（1）把xy看做x,x,y三个因子相乘，但考虑到条件x?y?1，故把xy拆成4?这里关键是均拆；（2）3x?y?1拆成【答案】（1）
22?2?2??1??1?x??x?y，?2??2?33x?x?y?1。 2243 （2）336?1 2722x2例5、当x?3时，求y?的最小值。
x?3【解析】将表达式变形使其各项的积是一常数，然后应用基本不等式。
【答案】24
【点拨】本题用到了配凑法，主要目的是为了使“积为常数”，本题解法具有普遍性。 例6、（1）若a,b?R，ab?1。求4a?b的最小值； （2）若a,b?R，ab?1，求2a?b的最小值； （3）若a,b?R，4a?b?1，求ab的最大值；
22?22
专题13 基本不等式及其应用-2020-2021学年新高一数学暑假衔接特训班专题(沪教版)
