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第一章 误差
1 问3.142，3.141，22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？
7分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65…
记x1=3.142，x2=3.141，x3=22.
7由π- x1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知
11?10?3?|??x1|??10?4 22因而x1具有4位有效数字。
由π- x2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 1?10?3?|??x2|?1?10?2
22因而x2具有3位有效数字。
由π-22=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知
7 1?10?3?|??22|?1?10?2
272因而x3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。
*(x)|? |?r|x?x*|?1?10?n?1?1?10?2?1?5%
|x*|2a12?13 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？ 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a1是1到9间的数字。
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?r*(x)0.3%?3?10001?11?10?1??10?1 22?102?(9?1)2(a1?1)设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。 4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a1=9。
?r*(x)|?|x?x*|?1?10?n?1?0.01%?10?4
|x*|2a1解不等式1?10?n?1?10?4知取n=4即可满足要求。
2a15 计算1?1，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
759760解
1?1?0.131 8×10-2-0.131 6×10-2=0.2×10-5
759760结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：
1?1?11??0.1734?10?5 6759760759?7600.5768?10就得到4位有效数字的结果。
此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算1?cosx时，应先把算式变形为
sinx1?cos2x1?cosx??sinx
sinxsinx(1?cosx)1?cosx再计算。又例如，当x充分大时，应作变换
1?x?x?1
1?x?x1?1?1 xx?1x(x?1)6 计算a?(2?1)6，取2?1.4，采用下列算式计算： （1）
1； (2?1)6（2）99?702；
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（3）(3?22)3； （4）
1. (3?22)3问哪一个得到的结果最好？
解 显然
(2?1)6(2?1)61a?(2?1)?? 6(2?1)(2?1)66(2?1)6??(2?1)2??(3?22)3?99?702
3(2?1)6?111??36(2?1)?(2?1)2?(3?22)3
所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取2?1.4计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取2?1.4时，有|△x|<0.015，再由f(x)的误差 f(x??x)?f(x)|?|f?(1.4)||?x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最小。
具体计算可行： （1）
1?5.2?10?3； 6(2?1)（2）99?702?1.0 （3）(3?22)3?8.0?10?3； （4）
1?5.1?10?3. 3(3?22)比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。 7 求二次方程x2-(109+1)x+109=0的根。
解 由于x2-(109+1)x+109=（x-109）(x-1)，所以方程的两个根分别为 x1=109，x2=1
计算方法习题集第一,二章规范标准答案
