1．已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长为214，则这个长方体的体积是( )
A．6 B．12 C．24 D．48 答案：D
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
解析：选C.由V＝Sh，得S＝4，即正四棱柱底面边长为2.因为该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的表面积S′＝4πR＝4π()＝Dπ＝(2＋2＋4)π＝24π，故选C.
2
3．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( ) A．955π B．955 C．355π D．355 答案：C
4．若圆柱的侧面积为18，底面周长为6π，则其体积是________． 答案：27
2
5．正四棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm，它的侧面积是35 cm，那么它的体
3
积是________cm.
11
解析：设正四棱台的斜高为h′，由侧面积公式S正棱台侧＝(c＋c′)h′＝(1×4＋
225
.再根据两底中心的连线与上、下底边的一半及斜高组成的2
17
直角梯形，可以求出高h＝1，那么V正棱台＝(S上＋S下＋S上·S下)h＝.
33
7答案：
32×4)h′＝35，解得h′＝
1．两个球的体积之和为12π，它们的大圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
43333
解析：选A.可设出两球的半径r1，r2，则有π(r1＋r2)＝12π，即r1＋r2＝9.
3
又∵2π(r1＋r2)＝6π，∴r1＋r2＝3.
332
由r1＋r2＝(r1＋r2)[(r1＋r2)－3r1r2]，可得r1r2＝2， 从而|r1－r2|＝r1＋r22－4r1r2＝1.
1
2．一圆锥的底面半径为4，在距圆锥顶点高线的处，用平行于底面的平面截圆锥得到
4
一个圆台，得到圆台是原来圆锥的体积的( )
631A. B. 641611C. D. 464
2
D22222
1
解析：选A.∵在距圆锥顶点高线的处，用平行于底面的平面截圆锥，圆锥底面半径为
4
4，∴截面圆半径为1.
设截去的底面半径为1的小圆锥的高为h，体积为V1，底面半径为4的圆锥的高为4h，体积为V2，
1122
π×4×4h－π×1×h3V圆台V2－V1363
则＝＝＝. V2V21642
π×4×4h3
3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为( )
A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
446348341033
解析：选B.设大铁球的半径为R，则有πR＝π·()＋π·()＋π·()，
3323232
解得R＝6.
4．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
9π7πA. B. 225π3πC. D. 22
解析：选D.如图，该旋转体的体积是以AD为半径，CD和BD为高的两个圆锥的体积之差，因为∠ABC＝120°，所以∠ABD＝60°.又因为AB＝2，所以DB＝1，AD＝3.
1113π222
所以V＝π·AD·CD－π·AD·BD＝π·AD·(CD－BD)＝.
3332
5．已知高为3的直棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为( )
11A. B. 42
C.3 6
D.3 4
1
解析：选D.由题意，得VB′－ABC＝VABC－A′B′C′
31133＝×××1×1×3＝. 3224
1
6．如图所示，圆锥的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h.若将圆锥倒置，水面高
3
为h2，则h2等于( )
2A.h 319C.h
3解析：选C.V圆台
19B.h 27
3 D.
112
＝·h[π(2r)＋π33
6h 32r2
3
1922
＋π(3r)]＝πhr.圆锥
9
xh23rh213rh22
倒置时，水形成了圆锥．设圆锥底面半径为x，则＝，于是x＝，则V圆锥＝π()h2
3rhh3h·π3r2
32323
3πrh2193πrh1922＝.所以πhr＝?h2＝h. 22
h9h3
7．半径为r的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是________．
解析：设球未取出时PC＝b，球取出后，水面高PH＝x，如图所示，因为AC＝3r，PC1122
＝3r，所以以AB为底面直径的圆锥形容器的容积V圆锥＝πAC·PC＝π(3r)·3r＝
33
411332
3πr，V球＝πr.球取出后水面下降到EF，水的体积V水＝πEH·PH＝
333131343233
π(PHtan30°)·PH＝πx，而V水＝V圆锥－V球，即πx＝3πr－πr.所以x＝15r.
993
3
故球取出后水面的高为15r.
3
答案：15r
3
8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm，则棱台的高为________．
解析：
如图所示，设正四棱台AC′的上底面边长为2a，则斜高EE′和下底面边长分别为5a、
22
8a.高OO′＝5a－4a－a＝4a.
12222又∵×4a×(64a＋4a＋4a×64a)＝14，
3
【优化方案】2024高中数学 第1章1.1.7知能优化训练 新人教B版必修2
