1. 算符、矩阵表示以及密度矩阵
在量子力学中，算符代表对波函数的一种运算，当我们用一组正交完备的基矢（n）将波函数进行展开时，算符对应的矩阵表示为：Amn?mAn 对于密度算符?，定义为：
?(t)??(t)?(t)
选取具体基矢后，其矩阵表示：
*?mn(t)?m?(t)?(t)n?cm(t)cn(t)
可以看出密度矩阵对角元上的值，正好对应系统出于该基矢对应态的概率。由归一化条件：
*Tr(?)??cncn?1
n??Tr(??) ?O算符的平均值可以写为：O纯态与混态：
纯态指的是体系处于一个确定的波函数所描述的态，比如：
??c1??c2?
其中|c1|2?|c2|2?1满足概率幅归一化条件。
混态指的是有很多个粒子，我们不确定每个粒子所处的状态，但统计表明处于某个态的比例我们知道，比如：
?????????p1p2
可以写成??p1??p2?，但这并不是一个波函数，只是表明处于各个状态的概率而已。（这里p1?p2?1满足概率归一化条件。） 混态密度矩阵定义为：??吉布斯熵：S??kB
直积态：两个纯态作直积得到的态，例如：?A?c10?c21,?B?d1??d2?
i?p?kkk
?plnp?Tr(?ln?)
ipi波函数满足归一化条件|c1|2?|c2|2?1,|d1|2?|d2|2?1，直积态就是
?A??B?c1d10???c1d20???c2d11???c2d21??
仍然是一个纯态。
两个体系A和B构成的复合态，若不是直积态，则被称为纠缠态，例如：
?AB?110???1??不能写成两个纯态的直积，是一个纠缠态（0态的22粒子自旋只能朝上，1态的粒子自旋只能朝下）。 复合态的密度矩阵定义为：?AB??AB?AB
约化密度矩阵：?A?TrB(?AB),?B?TrA(?AB)，这里TrB表示将处于B本征态的密度矩阵元拿出来求和。 作业题：
???2?p?i??H?V??p?[H,p]?????V(x)，求证：a. 已知H?
?t?x?x2m???????????(p?)???p?? p?(?p?)?()p证：
?t?t?t?t?t?不显含时间，因此第二项为零，第一项和第三项可以根据薛定谔方程来化简， p即：
????i?i? ??H?， ??H?t?t?ii?????i?pH????[H?] p??Hp,p?t????i另外：p代入得：
?x则
?i????i?pH???p??Hp?ti?(?i??)?i??i?H????H?x?x?(??)??H?(??)??(?H?)? ??H?x?x?x?2?p?(?V(x))?(x)?H?V2m???????x?x?x证毕。
??A?,B?,[A?,B??A??[A?]?1[A?]]??Bb. 求证：eBe2
???A，在??0处进行泰勒展开： 证：定义函数f(?)?e?ABe?????,B?,[A?,B???A??[A?]??1[A?]]?2?f(?)?e?ABe?B2
令??1即得证。
c. 已知：?1??2??12，?1?Tr2(?)，?2?Tr1(?)，?12?(?)
求证：s(?1)?s(?2)?s(?12)?s(?)
证：?12??1??2?1??2??1?1??2?2??1??2（这是一个直积态，
写着玩的），
S(?12)??Tr(?12ln?12)??Tr[?1??2ln(?1??2)]????idjln(?idj)??(??iln?i??djlndj)i,jij
??Tr(?1ln?1)?Tr(?2ln?2)?s(?1)?s(?2)另外：
s(?)??Tr(?ln?)???pijlnpiji,js(?12)??Tr(?12ln?12)???pp(1)ii,j(2)jln(pp)(1)i(2)j
?(1)pi??pij???1?Tr2(?)?j??(2)可以证明，函数s(?)???pijlnpij在条件??2?Tr1(?)??pj??pij的条件极值点为
ii,j?Tr(?)?1????pij?1??i,jpij?pi(1)p(2)j，
证明如下：引入拉格朗日乘子xi,yj,z
s(?)???pijln(pij)?xi(?pij?pi(1))?yj(?pij?p(2)j)?z(?pij?1)
i,jjii,j对各个参数pij求偏导求零点得：pij?exi?yj?z?1
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