第一讲 有理数的巧算
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有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
试一试
(1)-1+3-5+7-9+11-?-2009+2011； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；
例2 在数1，2，3，?，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________
于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算 3001×2999的值．
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试一试
（1）103×97×10009 （2）
（3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4）
3．观察算式找规律
例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
例5 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值．
例6 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值．
例7 计算：
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练 习 题
1．计算下列各式的值：
(1) 1991×1999-1990×2000； (2) 4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；
1111??????????(3) (4)1+4+7+?+244； 1?33?55?72009?2010
1111179111315197199-?-???????＋－(5)1??2?3????????2000 (6)1-?
33312203042569708990033
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
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第一讲 有理数的巧算答案
例1 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第 一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
例2 在数1，2，3，?，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，?，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
例3 计算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=3000-1=8 999 999．
2
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例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取
90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2) =1800-1=1799， 平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例5 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值．
分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与
距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+?+1997+1999． ①
再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+?+3+1． ② 将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+?+2000+2000(500个2000)
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=2000×500．
从而有 S=500 000．
例6 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值．
分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新
和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
99100
解 设S=1+5+52+?+5+5， ① 所以
23100101
5S=5+5+5+?+5+5． ②
②—①得
101
4S=5-1，
例7 计算：
分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解 由于
所以
说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中
很常用．
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七年级上册奥数提高班讲义 有理数的巧算
