专题18 解创新数列之匙
一．【学习目标】
1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法． 【知识要点】
1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列,将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1,2,…,n}上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题,将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题,将问题转化为等差、等比数列来研究．
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列,将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1,2,…,n}上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题,将问题转化为数列基本量的方程．
(3)用转化化归的思想探究数列问题,将问题转化为等差、等比数列来研究．
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 二．【方法总结】
1。数列模型应用问题的求解策略 (1)认真审题,准确理解题意。
(2)依据问题情境,构造等差、等比数列,然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解,或通过探索、归纳、构造递推数列求解。
(3)验证、反思结果与实际是否相符。 2。数列综合问题的求解程序
(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题,或以函数为载体构造数列,应用数列理论求解。 (2)数列的几何型综合问题,探究几何性质和规律特征,建立数列的递推关系式,然后求解问题。 三．题型典例分析 1。数列与函数的综合
例1。 设函数f?x?是定义在?0,???上的单调函数,且对于任意正数x,y有
,已知
,其中Sn是数
?1?f????1,若一个各项均为正数的数列?an?满足?2?列?an?的前n项和,则数列?an?中第18项a18?（） A。
1 B。 9 C。 18 D。 36 36
【答案】C
【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式
的应用,属于难题。已知Sn求an的一般步骤：（1）当n?1时,由a1?S1求a1的值；（2）
当n?2时,由
,求得an的表达式；（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式,若不满足则分段
表示an；（4）写出an的完整表达式
练习1。 设函数f?x?是定义在?0,???上的单调函数,且对于任意正数x,y有
,已知
,其中Sn是数
?1?f????1,若一个各项均为正数的数列?an?满足?2?列?an?的前n项和,则数列?an?中第18项a18?（） A。
1 B。 9 C。 18 D。 36 361an（an+1）]∵函数f（x）是定义域在（0,+∞）上的单调函数,2【答案】C
【解析】∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[数列{an}各项为正数∴Sn=①-②可得an=
11an（an+1）①当n=1时,可得a1=1；当n≥2时,Sn-1=an-1（an-1+1）②, 2211 an（an+1）-an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0 22∵an＞0,∴an-an-1-1=0即an-an-1=1∴数列{an}为等差数列,a1=1,d=1；∴an=1+（n-1）×1=n即an=n所以a18?18 故选C
练习2。已知
是R上的奇函数,
,则数列?an?的通项公式为（）．
A。 an?n B。 an?2n C。 an?n?1 D。 【答案】C
【解析】∵是奇函数,∴
,令x?1,2,
令x??1,2,∴,∴,
令x?11?,∴n2,令x?11?,∴2n,
∵,∴,同理可得,
,∴
故选C
练习3。 设等差数列?an?的前n项和为Sn,已知
,
,
,则下列结论正确的是（）
A。C。【答案】D
【解析】令f(x)=x3+2016x,则f′(x)=3x2+2016>0, 所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数。 由条件得,f(a2013?1)=?1,f(a4?1)=1, ∴
,从而a4+a2013=2,
B。 D。
又等差数列?an?的前n项和为Sn,
所以S2016=
= =2016,
因为f(a2013?1)=?1,f(a4?1)=1,f(x)在R上单调递增, 所以a4?1>a2013?1,即a4>a2013,
高中数学命题热点名师解密专题：解创新数列之匙(有答案)
