2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）
1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x （ 1）求函数 y
f ( x) 的对称中心；
2sin 2 ( x) ， x R .
6
（ 2）已知在 △ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a， b， c，且
f (
B
) b ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . c
2
6 2a
【解析】
f ( x) 1 cos2 x
1 cos2( x
) cos(2 x
) cos2 x
6 3
1 cos2x
3 sin 2x cos 2x
2
2
3
sin 2x
1
cos2x sin(2 x ) . 2
2 6
（1）令 2x
k （ k Z ），则 x
k
（ k Z ），
6
所以函数 y
f ( x) 的对称中心为 (
k
2 12
,0) k Z ；
2
12
（2）由 f (
B
c
)
b ，得 sin( B ) b
c ，即 3 sin B
2
6
2a
6 2a 2 整理得 3a sin B a cos B b c ，
由正弦定理得：
3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，
化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，
又因为 sin B
0 ，
所以 3 sin A cos A
1 ，即 sin( A
)
1 ，
6 2
由 0
A
，得
A
5 ，
6
6 6
所以 A
，即 A
，
6 6
3
又 ABC 的外接圆的半径为
3 ，
所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得
1
1
cos B 2 b c ， 2a
a
2
b
2
c
2
2bc cos A b
2
c
2
bc (b c)
2
3bc (b c)
23 (b c)
2
(b c) 2
4
4
，即 当且仅当 b
，
c 时取等号，所以周长的最大值为 9.
2.【河北衡水】 已知函数 f x
f 2
2a sin x cosx 2b cos2 x c a 0,b 0 ，满足 取得最大值为 .
0 ，且当 x
时， f x 在 x 0,
5
6 2
（ 1）求函数 f x 在 x
0, 的单调递增区间； （ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
f C
3
2
，求
a
2 2
2
2
a
b2 c 2 的取值范围 . b c
【解析】
（1）易得 f x
5
sin 2x 3 6
5
，整体法求出单调递增区间为
6
2
0, ， 2 ,
6 3 2 b a a b
； （2）易得 C
，则由余弦定理可得 a
3
a2
b2 b2 c2 c2
2a2 2b2 ab
ab
1，
由正弦定理可得
b a
sin B sin A
sin 2 A
3
3 2tan A
1 1 2 2
,2
，所以
sin A
a2 b2 c2
a
2
b
2
c
2
3,4 .
r
3.【山东青岛】 已知向量 a
r
cos x, 1 ， b ( 3 sin x,cos 2x) ， x
2
R ，设函数 r r
f ( x) a b .
（ 1）求 f(x)的最小正周期； （ 2）求函数 f(x)的单调递减区间； （ 3）求 f(x)在 0,
上的最大值和最小值 . 2
2
【解析】
f (x)
cos x,
1 2
( 3 sin x,cos 2x)
3 cos x sin x
1
cos2x
2
3
2 sin 2 x
1 cos 2x
2
cos sin 2x
sin cos 2x 6 6
sin 2x.
6
（1） f ( x) 的最小正周期为 T
2
2
2 ，即函数
（2）函数 y
sin(2 x
) 单调递减区间：
6
3
2 2k
2x
2k ， k Z ，
6 2
得：
k
x
5
k ， k Z ，
3
6
∴所以单调递减区间是 5
k , k
， k
3
6
（3） ∵ 0
x
，
2
∴
2x
5
6
6
6 .
由正弦函数的性质，
当 2x
，即 x 时， f (x) 取得最大值
6 2
3
当 x
0 1
2
，即 x
时， f (0)
，
6
6
2
当 2x
5 ，即 x
时， f
1 ， 6
6
2
2
2
∴ f (x) 的最小值为
1 .
2
因此， f (x) 在 0,
上的最大值是 1，最小值是
2
3
f ( x) 的最小正周期为.
Z .
.
1 .
2
1
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