2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
221．已知集合A?{(x,y)x?y?1}，B?{(x,y)y?x}，则AB中元素的个数为
D．0
A．3 B．2 C．1
2．设复数z满足(1?i)z?2i，则|z|?
A．
1 2 B．
2 2
C．2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）
A．-80
B．-40
C．40
D．80
x2y255．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?x，且与椭圆
ab2x2y2??1有公共焦点．则C的方程为（） 123x2y2A．??1
810x2y2B．??1
45x2y2C．??1
54x2y2D．??1
436．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）
3
?A．f(x)的一个周期为?2? C．f(x??)的一个零点为x?
B．y?f(x)的图像关于直线x?D．f(x)在(8?对称 3?6
?2,?)单调递减
7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数
N的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．?
B．
3? 4C．
? 2 D．
? 49．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2,a3,a6成等比数列，则{an}前6项的和为
A．-24
B．-3
C．3
D．8
x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直
ab径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（） A．6 3 B．3 3 C．2 ３
1D．
311．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?（）
A．?1 2 B．
1 3 C．
1 2 D．1
12．在矩形ABCD中，AB?1,AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
AP??AB??AD，则???的最大值为
A．3
B．22
C．5
D．2
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
?x?y?0,?13．若x,y满足约束条件?x?y?2?0,则z?3x?4y的最小值为________．
?y?0?14．设等比数列{an}满足a1?a2??1,a1?a3??3，则a4?________．
?x?1,x?0,115．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________．
2?2, x?016．a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； ②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； ③直线AB与a所成角的最小值为45； ④直线AB与a所成角的最大值为60．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选
考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA?3cosA?0,a?27,b?2
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每
瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 15? ?10，2 20? ?20，25? ?25，30? ?30，35? ?35，40? ?15，16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?ABD?CBD，AB=BD．
DE（1）证明：平面ACD^平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体
CB
AABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的余弦值．
20．（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以
线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）已知函数f(x)?x?1?alnx．
（1）若f(x)≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?11)(1+2)鬃?(1221) ?y?kt?x??2?m,?程为?（m为参数），设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲my??k?线C． （1）写出C的普通方程： （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3： ?(cos??sin?)?2?0，M为l3与C的交点，求M的极径． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)?|x??|?|x??|． （1）求不等式f(x)??的解集； （2）若不等式f(x)?x??x?m的解集非空，求m的取值范围． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3） 理科数学参考答案 一、选择题 1．B 7．D 二、填空题 13．?1 三、解答题 17．解： （1）由已知可得tanA??3，所以A?14．?8 15．(?2．C 8．B 3．A 9．A 4．C 5．B 6．D 10．A 11．C 12．A 1,??) 416．②③ 2? 32在?ABC中，由余弦定理得28?4?c?4ccos解得c??6（舍去），c?4 （2）由题设可得?CAD?2?，即c2?2c?24?0 3?2，所以?BAD??BAC??CAD??6 1?ABADsin26?1 故?ABD面积与?ACD面积的比值为 1ACAD2又?ABC的面积为 18．解： （1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 1?4?2sin?BAC?23，所以?ABD的面积为3 2P?X?200??2?163625?7?4?0.2，P?X?300???0.4，P?X?500???0.4. 909090因此X的分布列为： X P 200 0.2 300 0.4 500 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200?n?500 当300?n?500时， 若最高气温不低于25，则Y?6n?4n?2n；
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3
