第二节 变量的相关性与统计案例
[考纲要求]
1．会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．
2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．
3．了解回归分析的思想、方法及其简单应用． 4．了解独立性检验的思想、方法及其初步应用．
突破点一 回归分析
[基本知识]
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关
回归直线 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 －－?xiyi－nx yn回归方程 ^^^^回归方程为y＝bx＋a，其中b＝i＝1i＝1?xi2－nx2n^－^－， a＝y－bx －最小二乘法 2通过求Q＝? ?yi－bxi－a?的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据i＝1n的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关． 相关系数 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( )
1
答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题
^^^
1．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝________.
x y 答案：2.6
2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，经计算得到它们的相关系数r的值如下表，其中拟合效果最好的模型是________.
模型 r 答案：模型1
1010
^^^
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为y＝－3＋bx，若?xi＝17， ?yi＝4，则b的值为________．
i＝1
i＝1
0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 模型1 0.98 模型2 0.80 模型3 0.50 模型4 0.25 答案：2
[全析考法]
考法一 相关关系的判断
[例1] (1)(2024·福建泉州月考)在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )
A．①② C．②③
B．①③ D．②④
(2)(2024·昆明一中一模)若对于变量x的取值为3,4,5,6,7时，变量y对应的值依次分别为4.0,2.5，－0.5，－1，－2；若对于变量u的取值为1,2,3,4时，变量v对应的值依次分别为2,3,4,6，则变量x和y，变量u和v的相关关系是( )
A．变量x和y是正相关，变量u和v是正相关 B．变量x和y是正相关，变量u和v是负相关 C．变量x和y是负相关，变量u和v是负相关 D．变量x和y是负相关，变量u和v是正相关
[解析] (1)①为函数关系；②为正相关关系；③为负相关关系；④没有明显相关性．
(2)变量x增加，变量y减少，所以变量x和y是负相关；变量u增加，变量v增加，所以变量u和v是正相关，故选D. [答案] (1)C (2)D
2
[方法技巧]
判断相关关系的2种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强．
考法二 线性回归分析
[例2] (2024·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至^
2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的^
数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
^
[解] (1)利用模型①，可得该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
^
利用模型②，可得该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性^
模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
3
(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) [方法技巧]
1．回归直线方程中系数的2种求法 ^^
(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.
－－
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数． 2．回归分析的2种策略
(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． ^
(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.
[集训冲关]
1.[考法一]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
^
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423； ^
②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648； ^
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493； ^
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② C．③④
B．②③ D．①④
解析：选D 正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④. 2.[考法二]二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
使用年数x 售价y z＝ln y z关于x的折线图，如图所示： 2 20 3.00 3 12 2.48 4 8 2.08 5 6.4 1.86 6 4.4 1.48 7 3 1.10
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
^^
(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少．(b，a小数点后保留两位有效数字)
4
n
i? ?x－－
i－x??yi－y?
?n
xy－－
ii－nx y
＝1
i＝1
参考公式：^
b＝
＝，^a＝－y－^b－n
x， －
i? ?x－
i－x?2
i?n
x2i－nx 2
＝1
＝1
n
x－－
i? ?i－x??yi－y?
＝1
r＝
.
?n
?x－x?2?n ?y－
i－i－y?2
i＝1
i＝1
参考数据：?6x66
iyi＝187.4，?xiizi＝47.64，?x2i＝139，
i＝1
＝1
i＝1
6
x－
6
i? ?i－x?2＝4.18,
? ?y－
＝1
ii－y?2＝13.96，
＝1
?6
?z－
ii－z?2＝1.53，ln 1.46≈0.38.
＝1
解：(1)由题意，知－x＝1
6×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，
－z＝1
6×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，
又?6
x6
－
izi＝47.64，
? ?x4.18，
i＝1ii－x?2＝＝1
6
－
?2＝1.53，
i? ?z＝1
i－z∴r＝
47.64－6×4.5×24.18×1.53
＝－6.36
6.395 4≈－0.99，
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．(2)^b＝47.64－6×4.5×2
6.36139－6×4.52＝－17.5≈－0.36， ∴^a＝－z－^b－
x＝2＋0.36×4.5＝3.62， ∴z与x的线性回归方程是^
z＝－0.36x＋3.62， 又z＝ln y，∴y关于x的回归方程是^y＝e－0.36x＋
3.62. 令x＝9，得^y＝e－0.36×9＋
3.62＝e0.38， ∵ln 1.46≈0.38，∴^
y＝1.46，
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元．
突破点二 独立性检验
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备战2024年高考文数一轮复习第二节 变量的相关性与统计案例
