湖南省2019年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟，满分120分。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 解： 。选C。 2．“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 解：“ ”时必有“ ”，反之不然。选A。 D. 既不充分也不必要条件 3．过点 且与直线 平行的直线的方程是 A. B. C. 解： ，故 ，即 。选D。 D. 4．函数 的值域为 A. B. 5．不等式 的解集是 A. B. C. D. 解：∵单调，又 ，∴ ，即 ，选B。 C. D. 或 解：方程 两根为 ，开口向上，小于 取中间，选C。 6．已知 ，且 为第二象限角，则 A. B. C. D. 解： 为第二象限角， ， 。选D。 7．已知 为圆 上两点， 为坐标原点，若 ，则 A. B. 。选B。 解：如图， ， ，勾股定理， ， C. D. 8．函数 （ 为常数）的部分图象如下图所示，则 A. B. C. D. 解：最大值为 ，最小值为 ，故 ，选A。 9．下列命题中，正确的是 解：不多讲，选D。 A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 垂直于同一个平面的两个平面平行 C. 若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行 D. 一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直 10．已知直线 ： （ 为常数）经过点 ，则下列不等式一定成立的是 A. 又 1 / 8
B. C. D. 解：∵过点 ，∴ ，即 . ，即 ，∴ ， 。选A。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．在一次射击比赛中，某运动员射击 次的成绩如下表所示： 单次成绩（环） 7 8 次数 解： 9 6 10 4 4 6 则该运动员成绩的平均数是__________（环）。 ， ，则 ___________。 12．已知向量 ， ，且 ，∴ ，∴ . 解：∵ 13．已知 的展开式中 的系数为10，则 ________________。 解：∵ 。 。令 得 .∴ ∴ ， . 14．将 三个数分别加上相同的常数 ，使这三个数依次成等比数列，由 __________。 解：∵ ， ，∴ . 15．已知函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 ________________。 解：∵ ，又由奇偶性得： 。 ∴ . 三、解答题（本大题共7个小题，其中第21、22小题为选做题。满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分10分） 已知数列 为等差数列， ， 。 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 。 解：（Ⅰ）设公差为 ，则 ，∴ . ∴数列 的通项公式为 . （Ⅱ）∵ ， ∴ . 17、（本小题满分10分） 件产品中有 件不合格品，每次取一件，有放回地取三次。用 表示取到不合格品的次数。求： （Ⅰ）随机变量 的分布列； （Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率。 解：（Ⅰ）有放回，每次取得不合格品的概率为 ，为伯努利概型。取三次， ∴随机变量 服从二项分布，即 。 的所有可能取值为 。 ∴ ， ， ， 。 ∴随机变量 的分布列为： （Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率为 。 18、（本小题满分10分） 已知函数 . 2 / 8
（Ⅰ）画出 的图象； （Ⅱ）若 ，求 的取值范围。 解：（Ⅰ）分别画出抛物线 和一次函数 的图象， 然后保留 对应取值的部分图象即得。如右图实线部分。 （Ⅱ）∵ ，∴ 或 ， 或 。 即 或 ∴ 或 ，即 . ∴ 的取值范围为 . 19、（本小题满分10分） 如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ， 为 的中点。 （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 ，求三棱柱 的体积。 （Ⅰ）证：∵ ， 为 的中点，∴ 。 又 底面 ， 底面 ，∴ 。 ∵ 和 是平面 内两相交直线； ∴ 平面 。 （Ⅱ）解：连 . ∵ 平面 ， ∴ ，且 是 在平面 的射影， ∴ . 在 中， . 在 中， ， ，∴ . 在 中， ， ，∴ . ∴三棱柱 的体积 . 20、（本小题满分10分） 已知椭圆 ： . （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）已知点 ，直线 与椭圆 交于 两点。求 的面积。 解：（Ⅰ）∵ ， ，∴ ，∴ ， ， ∴椭圆 的离心率 . （Ⅱ）由 消去 并整理得： . 设 两点的坐标分别为 ，则由韦达定理可得： ， ，∴ . 又点 到直线 即 的距离 ∴ 的面积 。 。 选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答。如果两题都做，则按所做的第21题计分。作答时，请写清题号。 21、（本小题满分10分） 如图，在直角三角形 中， ， ， ， 为 内一点， ，且 。 （Ⅰ）求 的长； （Ⅱ）求 的值。 3 / 8
解：（Ⅰ）∵ 中， ， ， ， ∴ ， 。 ∵ 中， ， ， ， ∴ ， 。 ∴ 中， ， 由余弦定理有： ， 即 ， 。 （Ⅱ） 中，由正弦定理有： 。 22、（本小题满分10分） 某企业拟生产产品 和产品 。生产一件产品 需要新型材料 千克，用 个工时；生产一件产品 需要新型材料 千克，用 个工时。生产一件产品 的利润为 元，生产一件产品 的利润为 元。现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值。 解：设生产 件产品 和 件产品 时，企业获得的总利润为 元，则： 约束条件为： ； 目标函数为： ，求 。 作出可行域，如图。 解 得 ， 此时 （元）。 答：生产 件产品 和 件产品 时，企业可获得最大总利润，总利润的最大值为 元。 4 / 8
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2019年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题（参考答案） - 图文
