函数值域求法（代数式变形技巧指引） - 图文 

函数值域常见求解方法*概念:函数值域指y的取值集合(区间):{y|y=f(x),x∈A}，A是f(x)的定义域*求解函数值域时,理论上全部可以用导数解决,但是仍应该学会根据函数表达式的代数结构选取与其结构相应的“固定套路解法”来提高运算效率，因有些很多表达式求导数非常难.*求解函数值域的步骤为:第一步先求定义域，第二步根据函数表达式代数结构选择相应解法(主要还是利用单调性,导数)模型1:齐次分式型---分离常数法，导数法y?ax?bcx?d(a?0,b?0)

齐一次例1：求下列函数值域(1)y?

1?x

2x?5{y|y??1

2}?1?

2(2x?5)?72x?52??172?

2x2?5y2?ax?bx?ccx2?dx?e(a?0,c?0)

齐二次(2)y2?x?x?1

13x2?2x?2{y|2?y?2}?(x2?2x?2)?x?12?xx?1?2x?2x2?2x?1设t?x?1?t?2t2?1?1?0,y?1

t?0,y?

1t?1

?1ttax?bx?cy?2(a?0,c?0)齐二次型当定义域为R时cx?dx?e2还有一种较偏门的“判别式法”,但定义域不为R时会失效x?x?1

(2)y?2x?2x?22因为x∈R，即上述方程恒有实根当y=1时方程有实根,即y=1在值域内当y≠1时,??[?(2y?1)]?4(y?1)(2y?1)?0

13?y?2213

值域为{y|?y?}222?yx?2yx?2y?x?x?1

22变式:求值域1?2(1)y?xx1?sinx(2)y?

1?2(?1,1)

(3)yx2??1x2?1[?1,1)

1?sinx0,??)

[模型2:非齐次分式型---仍是分离常数法，导数法ax?bx?cdx?ey?(a?0,d?0)或y?2(a?0,d?0)

dx?eax?bx?c2统一技巧为设整个一次式dx+e为t13x?x?1

{y|?y?}(2)y?222x?2x?22(x?2x?2)?x?1?2x?2x?2x?1?2?1设t?x?1x?2x?2t?2?1t?1t?0,y?1

t?0,y?

1t?t1?1

2