2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．）
1ln(1?x2)（1）lim(cosx)x?0＝ ．
【答案】1 e【考点】两个重要极限 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
1对于1型不定式，可以采取lim(1??)?lim(1??)x?0x?0????????ex?0lim???(??0,???)，
进而转化为0??,,0?，通过等价无穷小或洛必达法则来计算. 0?1ln(1?x2)解析：lim(cosx)x?02?lim(1?cosx?1)x?011(cosx?1)?cosx?1ln(1?x2)?ecosx?1limx?0ln(1?x2)?e1?x2lim2x?0x2?e
?12（2）曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 ． 【答案】2x?4y?z?5 【考点】曲面的切平面 【难易度】★★
22【详解】解析：令 F(x,y,z)?z?x?y，则Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.设切点
2坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有
?2x0?2y0122??，可解得x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5. 24?1故所求的切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.
2（3）设x?【答案】1
?an?0?ncosnx(?π?x?π)，则a2＝ ．
【考点】函数在[0,l]上的余弦级数 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 将f(x)(???x??)展开为余弦级数f(x)??an?0?ncosnx(???x??)，其系数计算公式
为an???2?0f(x)cosnxdx.
解析：根据余弦级数的定义，有
a2? = =
2?1???02x2?cos2xdx??01???0x2dsin2x
?1[xsin2x?0??sin2x?2xdx]
0??1xdcos2x?[xcos2x?0???cos2xdx]
0? =1.
?1??1??1??1?（4）从R到基?1???1??,?2???0??,?2???2??的过渡矩阵为 ． ??1??到基?1??????????2【答案】??3??2? ???1?2?【考点】向量空间及其相关概念 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足
[?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：
P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n].
解析：根据定义，从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为
????????2?1??1??1??1?3??11??11??11??11??2. =?. P=[?1,?2]?1[?1,?2]????????????0?1??12??0?1??12???1?2?（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???1?6x,0?x?y?1,?0,其他，
则P{X?Y?1}＝ ． 【答案】
1 4【考点】二维连续型随机变量 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
已知二维随机变量的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)?z0}，（X，Y）一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=
120g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计算.
1?xx解析：P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?16xdy=?(6x?12x2)dx?.
4120（6）已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是 ．（注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.） 【答案】(39.51,40.49) 【考点】区间估计的概念 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据
X??~N(0,1)，由1nP{X???u?}?1??确定临界值u?，进而确定相应的置信区间. 122n②在单个正态总体方差已知条件下，求期望值?的置信区间为(x?u?其中P{U?u?}?1??,U:N(0,1)。
2?2n,x?u??2n)，
解析：方法1：由题设，1???0.95，可见??0.05.查标准正态分布表知u??1.96.本题
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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
