第4讲 二次函数与幂函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟) 一、填空题
1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是________． 解析 二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4. 答案 －4
2．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 1
答案 y＝(x－2)2－1
2
3．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是________(按从小到大)．
1?1
解析 5－a＝?a，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－?5?5a.
答案 5a＜0.5a＜5－a 4．( ·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________. bb解析 ∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图象关于x＝－对称，∴x1＋x2＝－. 2aabb2b
－?＝a·－b·＋c＝c. ∴f(x1＋x2)＝f??a?a2a
答案 c
5．(2014·山东师大附中调研)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 解析 函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴
－4a－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”
2的充分不必要条件． 答案 充分不必要 6．(2014·南京、盐城模拟)若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是________．
解析 令函数f(x)＝x2－2mx＋4，由题意可知
?????
???m＞2，?1－2m＋4＜0，
?即所以??4－4m＋4＜0，＜0，??
＜0，
5
?m＞2，
5
即m＞. 2
5?答案 ??2，＋∞?
1??
7．当α∈?－1，2，1，3?时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
?
?
1
解析 当α＝－1、1、3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经
2
1
过第一象限． 答案 二、四 8．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
解析 作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有
?????
＜0，＋
＜0，
??m2＋m2－1＜0，即??＋＋＋?
－1＜0，
解得－
2
＜m＜0. 2
2
答案 ?－，0?
?2?
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
10．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值． 解 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a ＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 对称轴为x＝a.
(1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
1±5
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)．
2
(3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 能力提升题组
(建议用时：25分钟) 1．(2014·苏州检测)已知函数f(x)＝x2＋2x＋b(b∈R)的值域为[4，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜8的解集为(m，m＋4)，则实数m的值为________．
2
解析 由函数f(x)＝x2＋2x＋b的值域为[4，＋∞)得b＝5，由f(x)＜8得－3＜x＜1，所以m＝－3. 答案 －3 2．(2014·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是________(填序号)．
①f(x1)＜f(x2)；②f(x1)＞f(x2)；③f(x1)＝f(x2)；④f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定． 解析 f(x)的对称轴为x＝－1，因为1＜a＜3，
则－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2， 不满足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，
x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)， 此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)； 若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)． 答案 ① 3．( ·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．
解析 当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意． 答案 (－∞，1) 4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间； (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值． 解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
??x2－2x∴f(x)＝?
?x2＋?
＞，
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值； 当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．
3
1－2a ??
综上，g(x)min＝?－a2－2a＋
?＞?2－
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4
(江苏)高考数学一轮复习-24二次函数与幂函数课时作业-理
