高三一轮复习函数的单调性与最值

函数的单调性和最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为A：区间I?A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 定义 当x1

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有___________； (2)存在x0∈I，使得___________. M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有___________； (4)存在x0∈I，使得___________. M为最小值 当x1

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).

x

( )

( )

(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数. (3)函数y＝|x|是R上的增函数.

( ) ( ) ( ) ( )

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞). (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞). 1－x2

(6)函数y＝的最大值为1.

1＋x2

2.若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________. 2x

4.函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是_______________________________.

x＋1

5.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2

?a，a≤b，?

7.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}

?b，a>b.?

的最大值是________.

2??x＋1，x≥0，

8.已知函数f(x)＝?则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________.

??1，x<0，

题型一 函数单调性的判断 例1 讨论函数f(x)＝

ax

(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性. x－1

2a

已知a>0，函数f(x)＝x＋ (x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数.

x

题型二 利用函数的单调性求参数

例2 (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.

???2－a?x＋1，x<1，f?x1?－f?x2?

(2)已知f(x)＝?x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.

x1－x2?a，x≥1，?

x－5

(1)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________.

x－a－2

a ?x>1?，??

(2)已知f(x)＝??a?是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________.

4－???2?x＋2 ?x≤1?题型三 函数的单调性和最值

x2＋2x＋a

例3 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).

x1

(1)当a＝时，求f(x)的最小值；

2

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

11

已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，

ax

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 11

(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值.

22

x

一、填空题

1.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是________.(填序号) 1

①f(x)＝；

x③f(x)＝ex;

②f(x)＝(x－1)2； ④f(x)＝ln(x＋1).

11

2.函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

3x－1

3.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________. 1

4.已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是________.

x5.定义新运算“”：当a≥b时，ab＝a；当a

2??x＋4x，x≥0，

6.已知函数f(x)＝?若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________. 2

?4x－x，x<0，?

x)x－(x)，x∈[－2,2]的最大值等

ax＋1

7.设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是__________.

x＋2a8.函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是____________. 二、解答题

9.函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)求g(t)的最小值.

2

10.已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.

x＋1

11：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.