向量的两种表示的运用
“算两次”是数学竞赛中的一个常用技巧，就是对同一个对象，从两种不同的角度去进行计算，再将所得的两个结果综合比较，从而获得结论的方法.大家知道，对于空间的任意四点A、B、C、D，我们总有下面的等式成立：AB＝AC?CB＝AD?DB，即对于向量AB，如果还有另外两点，则必定有两种算法.这实在是一件很奇妙的事，利用之，可以解决不少问题.
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例1.空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证:EF≤（AD+BC）.
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AEBFCD证明：由于E、F是中点，所以
） EF＝EA?AD?DF（沿A、D“算第一次”） EF＝EB?BC?CF（沿B、C“算第二次”
相加得：2EF＝AD+BC，
从而2|EF|＝|AD+BC|≤|AD|+|BC|.
例2.求证：三角形的三条高线交于一点.
ABHC
证明：如图，ΔABC中，设BH?AC，CH?AB，则有：BH·AC＝0，CH·AB＝0， 由于AH＝AB＋BH（过点B“算第一次”），故有：
AH·AC＝AB·AC＋BH·AC＝AB·AC.（*） 同样，由于AH＝AC＋CH（过点C“算第二次”），故有： AH·AB＝AC·AB＋CH·AB＝AC·AB.(**)
BC＝0，即AH?BC. （*）与(**)相减，得AH·
BHA
例3. ΔABC中，设AB=2,AC=3,∠BAC=60o,H是ΔABC的垂心，向量AB＝a,AC=b,试用向量a,b表示向量AH.
解：设AH＝λa＋μb，则
Cλa＋μb＝AB+BH（过点B“算第一次”），
→
于是，(λa＋μb)·AC＝(AB+BH)·AC,得λ＋3μ＝1；
同理，λa＋μb＝AC+CH（过点C“算第二次”）， (λa＋μb)·AB＝(AC+CH)·AB,得4λ＋3μ＝3；解得λ＝
2121，μ＝，故AH＝a＋b. 393931
例4. ΔABC中，设AD=AB,AE=AC,CD与BE相交于点P，向量AB＝a,AC=b,试用向量
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a,b表示向量AP.
BDPAEC
解：AP=AB+BP=AB+?BE=AB+?(AE-AB)=(1-?)AB+又AP=AC+CP=AC+?CD=AC+?(AD-AC)=(1-?)AC+?3AC，
3?AB， 53?1－?＝??111?5于是?，得?＝，AP=AB+AC.
226?1－?＝??3?
向量的两种表示的运用
