向量的两种表示的运用
“算两次”是数学竞赛中的一个常用技巧,就是对同一个对象,从两种不同的角度去进行计算,再将所得的两个结果综合比较,从而获得结论的方法.大家知道,对于空间的任意四点A、B、C、D,我们总有下面的等式成立:AB=AC?CB=AD?DB,即对于向量AB,如果还有另外两点,则必定有两种算法.这实在是一件很奇妙的事,利用之,可以解决不少问题.
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例1.空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF≤(AD+BC).
2
AEBFCD证明:由于E、F是中点,所以
) EF=EA?AD?DF(沿A、D“算第一次”) EF=EB?BC?CF(沿B、C“算第二次”
相加得:2EF=AD+BC,
从而2|EF|=|AD+BC|≤|AD|+|BC|.
例2.求证:三角形的三条高线交于一点.
ABHC
证明:如图,ΔABC中,设BH?AC,CH?AB,则有:BH·AC=0,CH·AB=0, 由于AH=AB+BH(过点B“算第一次”),故有:
AH·AC=AB·AC+BH·AC=AB·AC.(*) 同样,由于AH=AC+CH(过点C“算第二次”),故有: AH·AB=AC·AB+CH·AB=AC·AB.(**)
BC=0,即AH?BC. (*)与(**)相减,得AH·
BHA
例3. ΔABC中,设AB=2,AC=3,∠BAC=60o,H是ΔABC的垂心,向量AB=a,AC=b,试用向量a,b表示向量AH.
解:设AH=λa+μb,则
Cλa+μb=AB+BH(过点B“算第一次”),
→
于是,(λa+μb)·AC=(AB+BH)·AC,得λ+3μ=1;
同理,λa+μb=AC+CH(过点C“算第二次”), (λa+μb)·AB=(AC+CH)·AB,得4λ+3μ=3;解得λ=
2121,μ=,故AH=a+b. 393931
例4. ΔABC中,设AD=AB,AE=AC,CD与BE相交于点P,向量AB=a,AC=b,试用向量
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a,b表示向量AP.
BDPAEC
解:AP=AB+BP=AB+?BE=AB+?(AE-AB)=(1-?)AB+又AP=AC+CP=AC+?CD=AC+?(AD-AC)=(1-?)AC+?3AC,
3?AB, 53?1-?=??111?5于是?,得?=,AP=AB+AC.
226?1-?=??3?
向量的两种表示的运用
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